《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 第5讲 曲线的凹凸性及函数作图

高等数学（上册）第3章微分中值定理与导数的应用第5讲曲线的凹凸性及函数作图人民邮电出版社POSIS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第5讲 曲线的凹凸性及函数作图 第3章 微分中值定理与导数的应用

R人邮教育本讲内容w.ryjiaoyu.co01曲线的凹凸性与拐点02曲线的渐近线03函数作图

01 曲线的凹凸性与拐点 02 曲线的渐近线 03 函数作图 本 讲 内 容

01COAO曲线的凹凸性与拐点人邮教育定义3.2设函数f(x)在区间I上连续，对I上任意两点x,和x2f(x)+ f(x)Xi +X2则称在区间I上的图形是凹总有力22的，如下图;f(x)+ f(x2)yt2x(x + x2)f(x2)if2----xX1X2

    1 2 2 f x  f x 1 x 2 x   1 f x   2 f x     x y 设函数 在区间I上连续, 对I上任意两点x1和x2 f (x) , 1 2 1 2 , ( ) ( ) 2 2 x x f x f x f          定义3.2 3 总有 则称在区间I上的图形是凹 的, 如下图; ( ) 2 x x f 1  2 01 曲线的凹凸性与拐点

01曲线的凹凸性与拐点CO0R人邮教育f(x)+f(x2)X +X2若总有f22则称在区间I上的图形是凸的，如下图f( + x2)2if (x2)XX1X2

 1   2  2 f x  f x 1 2 ( ) 2 x x f  1 x 2 x   2 f  x 1  f x     x y 1 2 1 2 , ( ) ( ) 2 2 x x f x f x f          4 若总有 则称在区间I上的图形是凸的, 如下图. 01 曲线的凹凸性与拐点

01曲线的凹凸性与拐点COAO人邮教育定义3.3连续曲线上凹凸区间的分界点，称为曲线的拐点注：(1)拐点是曲线上的点，应以坐标点(xo,f(x）表示(2)注意与极值点x=x.表示形式的不同

(1)拐点是曲线上的点, 应以坐标点 表示. 0 0 (x , f (x )) (2)注意与极值点 表示形式的不同. 0 x  x 5 定义3.3 连续曲线上凹凸区间的分界点, 称为曲线的拐点. 注: 01 曲线的凹凸性与拐点

01曲线的凹凸性与拐点COORA人邮教育定理3.12设f(x)在[a,bl上连续在(a,b)内二阶可导.那么(1)若对VxE(a,b),f"(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若对VxE(a,b),f"(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的

定理3.12 设 f (x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内二阶可导,那么 (1)若对 x(a,b)，f (x)  0, 则 f (x)在[a,b]上的图形是凹的; (2)若对x(a,b)，f (x)  0, 则 f (x)在[a,b]上的图形是凸的. 6 01 曲线的凹凸性与拐点

01曲线的凹凸性与拐点COA0PS人邮教育求函数凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数的定义域：(2)求出函数的二阶导数,并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点划分区间(3)依次判断每个区间上的二阶导数的符号，利用定理3.12判断每个区间的凹凸性，并进一步求出拐点坐标

求函数凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出函数的二阶导数,并解出二阶导数为零的点和二 阶导数不存在的点,划分区间; 判断每个区间的凹凸性,并进一步求出拐点坐标. (3)依次判断每个区间上的二阶导数的符号, 利用定理3.12 7 01 曲线的凹凸性与拐点

01曲线的凹凸性与拐点COA0RA人邮教育例判定曲线y=lnx的凹凸性0解定义域为(0,+8），1所以曲线y=lnx在(0,+o）是凸的

8 判定曲线 y  ln x 的凹凸性. 定义域为(0,) ， 1 y x   ， 例 1 解 2 1 y 0 x     01 曲线的凹凸性与拐点 所以曲线 y  ln x 在 (0,) 是凸的

01曲线的凹凸性与拐点CO0RA人邮教育例2讨论曲线y=sinx在[0,2元]上的凹凸性口解因为y'=cosx，"=-sinx，所以在(0,元)内，J"0，该曲线是凹的

9 y   cos x ， 例 2 解 01 曲线的凹凸性与拐点 讨论曲线 y  sin x 在[0,2π]上的凹凸性. 在 (0, π)内，y  0，该曲线是凸的； 在(π 内，y  0，该曲线是凹的. , 2π) 因为 y   sin x ，所以

010000曲线的凹凸性与拐点R人邮教育3例判定曲线y=x·arctanx的凹凸性福x口解定义域为（-oo,+），y'=arctanx1+x221- x?1+x2-x·2x111+x2(1+x)(1 + x2)2(1+x2)21+x?所以对xER，J">O，从而曲线是凹的

10 判定曲线 y  x arctan x的凹凸性. 定义域为 (-,) , 2 arctan 1 x y x x     , 所以对 x R , y   0, 从而曲线是凹的. 例 3 解 2 2 2 2 1 1 2 1 (1 ) x x x y x x         2 2 2 2 1 1 1 (1 ) x x x      2 2 2 (1 x )   01 曲线的凹凸性与拐点