《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章课件_第五章第3节换元和分部积分

第三节第五章定积分的换元法和分部积分法不定积分换元积分法换元积分法→定积分分部积分法分部积分法定积分的换元法一二、定积分的分部积分法HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章

定积分的换元法一、设函数,f(x) ε C[a,b], 单值函数 x=β(t)满足定理1.设1) p(t)eC'[α, β], p(α)=a, β(β)= b;2)在[α,βl上a≤Φ(t)≤b,.b则~f(x)dx =[~ f [p(t)]p'(t)dt说明：定理1仍成立1当β<α,即区间换为[β,α]时,2）必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1  t C   2) 在 [ ,  ] 上  ( ) = a ,  ( ) = b ; (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 说明: 1) 当 <  , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回

例1.计算dx (a>0)解：令x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时,t=0； x=α时,t=.原式=α[cos?tdtS( (1+ cos2t)dt福X2元a12tsin0HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例1. 计算 解: 令 x = a sin t , 则 dx = a cost d t , 当 x = 0 时, t = 0; , . 2  x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2  = +  sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2   2 0  cos t d t 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

x+2例2. 计算dx0/2x+1解：令t=~2x+1,则xdx=tdt, 且2当x= 0时,t=1;x=4时, t=3原式=tdt(t? +3)dt厂+3t?HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当 x = 0时, x = 4时, t = 3 . ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2  + − (t 3) d t 2 1 3 1 2  = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t = 1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

FI2计算cos5 x sin xdxet计算exT计算sin3 x - sin5 x dx .HIGH EDUCATION PRESS

例。设f(x)eC[-a,a](1)若f(-x)= f(x), 则[ f(x)dx=2{~f(x)dx(2)若f(-x)=-f(x), 则{ f(x)dx= 0证：f(x)dx= [f(x)dx + Jaf(x)dxJf(-t)dt + J°f(x)dx['l f(-x)+ f(x)]dx2J°f(x)dx,f(-x)= f(x)时f(-x)=-f(x)时福HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 证: (1) 若   − = a a a f x x f x x 0 则 ( ) d 2 ( ) d = − f x x a a ( ) d (2) 若 ( ) d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( ) d 0  + f t t a ( ) d 0  = − f x x a ( ) d 0  + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0  = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 =

2x2 + x cos x计算dx1+V1-x2HIGHEDUCATIONPRESS

证明f(x)e C[0,1]T元(1）f(cos x)dxf(sin x)dx =元元f (sin x)dxxf (sin x)dx =22xsinx元计算(3)dx01+cos°xHIGH EDUCATION PRESS

π π 2 2 0 0 f x x f x x (sin )d (cos )d =   证明 (1) π π 0 0 π (sin )d (sin )d 2 xf x x f x x =   (2) (3) 计算 π 2 0 sin d 1 cos x x x + x 

例周期为T,证明：设f(x)是连续的周期函数，ca+T(1)f(x)dx =f(x)dx;0aa+nT(2)f(x)dxf(x)dx =cnT由此计算V1 + sin2 xdxca+Tf(x)dx,证（1）方法1.记Φ(a)=a则 ： Φ'(a) = f(a+ T) -f(a) = O, : Φ(a) = C.Φ(a) = Φ(0)HIOMERUGRTAONPRESS

第三节 定积分的换元法和分部积分法 第五章 定积分 例 证（1）方法1. 0 ( )d ( )d a nT T a f x x n f x x + =   （2）

x≥0xe计算f(x-2)dxf(x) =-1<x<01+cosxHOMERUGRTON PRESS

第三节 定积分的换元法和分部积分法 第五章 定积分 2 0 ( ) 1 1 0 1 cos x xe x f x x x −    =   −    + 计算 4 1 f x x ( 2)d − 