《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）D5_3换元分部

第五章第二节微积分基本公式不定积分换元积分法换元积分法定积分分部积分法分部积分法四、定积分的换元法五、定积分的分部积分法HIGHEDUCATION PRESS

五、定积分的分部积分法 第二节 不定积分 四、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 微积分基本公式 第五章

四、定积分的换元法定理5.4.设函数f(x)C[a,b]，函数x(t）满足：1)当在[口,](或[口，口g)(t)口b2)口（t)在[口，口](或[口，口J)上具有连续导数()a,()b:3)则f(x)dx[(t)])dtHIGH EDUCATION PRESS

四、定积分的换元法 定理5.4. 设函数 函数 满足: 3) 2) ￾ (t)在[￾ , ￾ ](或[￾ , ￾ ])上具有连续导 数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 1) 当t在[￾ , ￾ ](或[￾ , ￾ ])

f(x)dxf[(t)])dt因此积分都存在证：所证等式两边被积函数都连续且它们的原函数也存在．设F(x)是f(x)的一个原函数，则 F[(t)]是[(t)])的原函数，因此有f(x)dx F(b)F(a)F[()]F[()] f [(t)]α)d tHIGH EDUCATION PRESS

证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x(0)当x=a时t=a，f (x)dx f [()j)dt当x=b时t=b说明：1）必须注意换元必换限，原函数中的变量不必代回2）换元公式也可反过来使用，即[(t)j) dtf(x)dx(令x (t))i f[(t)]) dt f[(t)] d(t)或凑微分凑微分不换限HIGH EDUCATION PRESS

1) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 2) 换元公式也可反过来使用 , 即 或凑微分 凑微分不换限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:

七例1.计算dxX当x=0时，t=1当x=1时，t=2设t=1+x2解：20dt =2ln1+或者==ln2=ln(1 + x11+x二HIGH EDUCATION PRESS

例1. 计算 或者 解： 设

ax例2.计算HIGHEDUCATION PRESS

例2. 计算

x□2例3.计算解：令t□V2x1,则xdxtdt,且当x0时,t1；x4时,t3原式=tdt(t?3)dt3tHIGH EDUCATION PRESS

例3. 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

例4.证明n(l- x)"dx(1- x)" dx =XHIGH EDUCATION PRESS

例4. 证明

Va?- x dx (a>0).例5.计算解：令xasint，则dxacostdt，且当xo时，to；xa时，t口号yi ya?x?口cos' tdt原式=aRS(1cos2t)dta金xSHIGHEDUCATION PRESS

例5. 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

一例6计算cos xsin xdx州解：2002cos xdcosxcos xsin xdx00cosxdtdt或cos xsin xdx cos5 xd cosxcosx1cos号cos0品福提示：换元一定要换积分限口不换元积分限不变口HIGH EDOCATTON

例6 解: 或 提示： 提示： 换元一定要换积分限￾ 不换元积分限不变￾