《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 第2讲 极限的概念与性质

高等数学（上册）第1章函数、极限与连续第2节极限的概念与性质人民邮电出版社POSTS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第2节 极限的概念与性质 第1章 函数、极限与连续

R人邮教育本讲内容w.ryjinoyu.c01数列极限的定义02数列极限的性质03函数极限的概念04函数极限的性质

01 数列极限的定义 02 数列极限的性质 03 函数极限的概念 04 函数极限的性质 本 讲 内 容

01数列极限的定义COA人邮教育PS按照一定顺序排列的数XXXL称为数列。记为(x,，其中x，称为数列的第n项或通项

3 按照一定顺序排列的数 称为数列。 记为 ，其中 称为数列的第 项 或通项. 01 数列极限的定义

COA0人邮教育Rv数列Xi.X2.x3,x数列的几何意义数列(x，可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x，X2.X3，7XXnX4X3X5xx0·数列与函数关系数列(x可以看作自变量为正整数n的函数x,=f(n), nN

4 x1 x5 x4 x3 x xn 2 数列{xn }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取 数轴上的点x1 , x2 , x3 , ᵰ ᵰ ᵰ , xn , ᵰ ᵰ ᵰ . •数列的几何意义 v数列 x1 , x2 , x3 , ᵰ ᵰ ᵰ , xn , ᵰ ᵰ ᵰ , 数列{xn }可以看作自变量为正整数n的函数: xn = f (n) , nᵰ Nᵰ . •数列与函数关系

01COA数列极限的定义R人邮教育一尺之，日取其半，万世不竭。一《庄子*天下篇》

一尺之棰，日取其半，万世不 竭。 -—《庄子*天下篇》 5 01 数列极限的定义

01数列极限的定义COAORA人邮教育定义1.6（描述性定义）对于数列(x当n无限增大（n??)时，若x无限趋近于一个确定的常数a，则称α为数列(x的极限（或称数列收敛于α），记作limx,=a或x,?a(n??）nR此时，也称数列(x的极限存在；否则，称数列{x,}的极限不存在（或称数列是发散的）

6 对于数列 ， 当 无限增大 时，若 无限 (或称数列收敛于 )， 极限不存在（或称数列是发散的）. . 趋近于一个确定的常数 ，则称 为数列 的极限 记作 此时，也称数列 的极限存在；否则，称数列 的 定义1. 6（描述性定义） 01 数列极限的定义

01OOOOR数列极限的定义人邮教育例下面各数列，哪些数列收敛，哪些数列发散？对于收敛数列，通过观察通项的变化趋势，写出它们的极限n(1)x.n+1收敛n+(- 1)"- I(2).X,n(3)X,=2"发散X, = (- 1)"-1(4)

7 01 数列极限的定义 收敛 发散 (1) (2) (4) 下面各数列，哪些数列收敛，哪些数列发散？ 对于收敛数列，通过观察通项的变化趋势，写 出它们的极限. 例 1 (3)

01COAO数列极限的定义RA人邮教育定义1.6（描述性定义）当n无限增大（n??）时，若x，无限对于数列(x,)趋近于一个确定的常数a则称α为数列x,的极限(或称数列收敛于α)，记作limx,=a或x，?a(n?）nRY

9 对于数列 ， 当 无限增大 时，若 无限 (或称数列收敛于 )， . 趋近于一个确定的常数 ，则称 为数列 的极限 记作 定义1. 6（描述性定义） 01 数列极限的定义

01数列极限的定义COAOR人邮教育定义1.6(e-N定义)设(x,}为一数列,α是常数,如果对"e>0,siN使对于满足n>N的一切xn，总有x,-a<e成立，则称a为数列(x,)的极限（或称数列收敛于α），记作limx,=a或x,a(n??)nRY注数学符号“"表示“任意”，“$表示“存在

或 . 10 数列 的极限（或称数列收敛于 ）， 定义1.6（ 定义） 注 设 为一数列， 是常数，如果对 ， ， 数学符号“ ”表示“任意” ， “ ”表示“存在”. 记作 01 数列极限的定义 使对于满足 的一切 ，总有 成立， 则称 为

01数列极限的定义COOO人邮教育数列极限几何解释如图1.19、图1.20所示，任意给定当n>N时，所有的点x,都落在a-e，a+e）内，正数e只有有限个（至多只有N个）落在其外26人a+ea-c·XN+2X2XN+1axXiX3图1.19

2ε a-ε 11 数列极限几何解释如图1.19、图1.20所示， 只有有限个（至多只有N个）落在其外. x2 xN+1 a x a+ε x3 x x1 N+2 任意给定 当 时，所有的点 x 正数 n 都落在 内， ， 图1.19 01 数列极限的定义