《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）2-1 n阶行列式的定义

第二章行列式2-1n阶行列式的定义2-2行列式的性质和计算2-3拉普拉斯定理2-4克拉默法则2-5矩阵的秩

第二章 行列式 2-1 n 阶行列式的定义 2-2 行列式的性质和计算 2-3 拉普拉斯定理 2-4 克拉默法则 2-5 矩阵的秩

2-1n阶行列式的定义iaux +ax, =b考虑二元线性方程组a 2, =b,ib,a22 - a,bX时，则芳程组的~2!当 aa22 - i2 0a.b,-b,a21解为ix:aa22 - a2a21aeb,b, °ai2ai20aa1ea1A2--记矩阵A:A, =主SaaganSb,b2a220a220aua2称a22 - ai2a21 = det A为一个二阶行列式a21a22a22a21

2-1 n 阶行列式的定义 考虑二元线性方程组 当 时，则方程组的 解为 记矩阵 称 为一个二阶行列式，且

品=b当det Ai0时，二元线性方程组a+=biba12ib2det A,a221det Aa2a1a21a:11b.aiiib.det A,a21ix,det A12ail:iia21a22

当 时，二元线性方程组 的解可记为

二阶行列式定义由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表aua2az1az2数aa22 - a1221称为数表所确定的二阶行列式，记为aua12a21a22

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列） 的数表 数 称为数表所确定的 二阶行列式, 记为 二阶行列式定义

ix,+a2x +ai3x,=b同理，对于三元线性方程组ia2x,+a22x2+a23x,=b,I a +ag2x2 +agx, =b;b,ach,drs9braauds9adai2ai2ai2aaiaea1BOB0b2b, -记矩阵A=a22a22A,a22A2Asca21ca21a23 -,=a23 -,ca21a23 -,-X一-&aa1bsSas1&b,Sas1b3a32a32a32a330a330a301det A,ixdet A1时，三元线性方程组的解可et4,当detA10det A为iidet A,ixdet Ai

同理，对于三元线性方程组 记矩阵 当 时，三元线性方程组的解可记 为

三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表aua12a13(5)a21a22a23记a31a32a33aa12a13=aua22a33 + a12a23a31 +a13a21a32 (6)a21a22a23-aa23a32-a12a2133-13a22a31,a31a33a32(6)式称为数表（5）所确定的三阶行列式

三阶行列式定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式

ailai2ai3其中 det A=a22a231021=aia2233+ai2a23a+aiga2a32a31a32a33a3a2231-22a33-aa23a32称为一个三阶行列式（1）对角线展开法展开式共6（3！）项每项是3个不同行不同列的元素乘积3项带正号（主对角线方向）、3项带负号（次对角线方向）

其中 称为一个三阶行列式. （1）对角线展开法 • 展开式共 6（3！）项 • 每项是3个不同行不同列的元素乘积 • 3项带正号（主对角线方向）、3项带负号（次对角线方向）

aa12ar3（2）按一行展开法aCa21a123a22aCa33a31a33aa32a31a32a33=aA, +a2A2+a3A3分别称为元素其中Au,A2.A的代数余子式=(- 1)+2All =(- 1)I-1-—a32a33a31a33a31a32

（2）按一行展开法 其中 分别称为元素 的代数余子式

定义La11a12anLa22a2na21设A是阶方阵，n阶衍列式AMMMM的一个数：Lan2amanld时4,=[au|= αu(1)当n=ld时A=αA, +ai2Ai2+LAl, =(- 1)* M,,(2)当n3 2+ainA,LLa21a2 j-1azna2j-1LLa31a3nasj-1a3 j+1(j= 1,2,L ,n)M.LLLLLLLLanαm-1arg+1annMu称为元素的翁子式，α,称为元素的代数余子式

定义 设 是 阶方阵， n 阶行列式 是由 确定 的一个数： （1）当 时， （2）当 时 ， ，其中 称为元素 的余子式， 称为元素 的代数余子式

上述归纳定义称为行列式按第1行展开200A0?D例1计算行列260式845解:D=auA+a+aiA+ai4A4=aA+a4A4/1050712610-4261435438102.5(

上述归纳定义称为行列式按第1行展开。 例1 计算行列 式 解：