《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 第2讲 函数求导法则

高等数学（上册）第1章导数与微分第2讲函数的求导法则人民邮电出版社POSIS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第2讲 函数的求导法则 第1章 导数与微分

RS人邮教育本讲内容w.ryjiaoyu.co01函数和、差、积、商的求导法则02反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数

01 函数和、差、积、商的求导法则 02 反函数求导法则 03 复合函数求导法则 04 高阶导数 本 讲 内 容

01函数和、差、积、商的求导法则OOOORA人邮教育定理2.3设函数u(x),v(x)在点x处可导，则函数u(x)±v(x),u(x)u(x) v(x),(v(x)±0)在点x处也可导，且v(x)(1)[u(x)±v(x)) = u(x)±v(x);(2) [u(x)>(x)) = u(x)>(x)+ u(x)v(x);特别地，[Cu(x)}=Cu(x)（C为常数），v'(x)u(x)u(x).v(x)-u(x).v'(x)(3)特别地v?(x)(x)v(x)v(x)

定理2.3 设函数u(x),v(x) 在点x处可导，则函数u(x)  v(x)， ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) u x u x v x v x v x  ,  在点x处也可导，且 u(x) v(x) u (x) v (x)  （1）      ； u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)  （2）     ； 特别地，Cu(x)   Cu (x（) C为常数）， 特别地， 2 1 ( ) ( ) ( ) v x v x v x           2 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x              （3） ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 3

01函数和、差、积、商的求导法则COAORA人邮教育注法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数相加减和相乘的情形(u±v±w)=u'±v'±w'(uvw)'=u'vw+v'uw+w'uv

注 (u  v  w)  u v w 法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数 相加减和相乘的情形. (uvw)  uvw vuw wuv . 01 函数和、差、积、商的求导法则 4

01函数和、差、积、商的求导法则COA0RA人邮教育设函数u(x)，v(x)在点x处可导，利用定义证明：例1[u(x)v(x)] = u'(x)v(x)+u(x)v'(x);o解根据导数定义并运用极限的运算法则u(x+ △x)v(x+ △x)-u(x)v(x)[u(x)(x)] = lim "ArAr-→0[u(x+ Ax)v(x + Ax) -u(x)v(x +Ax) ]+ [u(x)v(x + △x)-u(x)v(x) ]limAr->0Axrv(x + Ax) +u(x). (x+Ax) -v(x)u(x+△x)-u(x)=limArAxrAr-→0u(x+Ax)- u(). im v(x + Ax)+u(x) lim)v(x+△x)-v(x)= limAxAxAx->0Ax>0Ax-由于v(x)存在，故v(x)在点x处连续，从而limv(x+△x)=v(x)所以[u(x)v(x) =u(x)v(x)+u(x)v(x)

  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim x u x x v x x u x v x u x v x   x         例 1 解 设函数 u(x), v(x) 在点x处可导，利用定义证明： u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)      ； 根据导数定义并运用极限的运算法则 5     0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim x u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x   x              . 01 函数和、差、积、商的求导法则 5 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) x u x x u x v x x v x v x x u x   x x                     0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim x x x u x x u x v x x v x v x x u x   x     x               ， 由于v (x) 存在，故v(x)在点x处连续，从而 0 lim ( ) ( ) x v x x v x      ， 所以 u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)       

01函数和、差、积、商的求导法则COAO人邮教育RA元例求f(x), f(O) 设f(x)=4cosx-x3+3sinx-sin22o解根据定理2.3，f'(x)=(4cosx-x3 +3sinx-sin=(4cosx)-(x)+(3sin x)'-(sin)=-4sinx-3x2+3cosx所以f(O)=(-4sinx-3x2 +3cosx)。=3

例 2 解 3 π ( ) (4cos 3sin sin ) 2 f  x  x  x  x   3 π (4cos ) ( ) (3sin ) (sin ) 2  x   x   x    3 π ( ) 4cos 3sin sin 2 设 f x  x  x  x  , 求 f (x), f (0) ． 根据定理 2.3， 2  4 sin x  3x  3cos x 所以 f (0)   2 0 4sin 3 3cos 3 x x x x       . 01 函数和、差、积、商的求导法则 6

01函数和、差、积、商的求导法则CO0人邮教育RA例）3设y=Vxlog2x+e*sinx，求y.解Oy'=(/xlog,x)'+(e*sinx)=(/x)log2 x+ x(log2 x)'+(e*)'sin x+e(sin x)1+e'sinx+e"cosxxt1xln22Vx

2 ( log ) (e sin ) x y  x x   x  2 2 ( ) log (log ) (e ) sin e (sin ) x x  x  x  x x   x  x  2 log e sin x 设 y  x x  x y  , 求 ． 2 1 1 log e sin e cos 2 ln 2 x x x x x x x x      ． 例 3 解 01 函数和、差、积、商的求导法则 7

01函数和、差、积、商的求导法则COAORA人邮教育例4设y=tanx,求y'cos x - sin x(cos x)sinx(sinx)y'=(tanx)解cos"xcosx1cos? x+ sin? xseccos?xcos"x即(tanx)=secx

设 y  tan x ，求 y' ． y tan x        x x x x x 2 cos sin cos sin cos     2 2 2 cos sin cos x x x     2 tan x sec x  即  ． 例 4 解 sin cos x x         2 1 cos x   sec 2 x ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 8

01函数和、差、积、商的求导法则COAORA人邮教育例5设y=cotx，求y".(cosx) sin x-cos x(sin x)cosxo解y =(cot x)sinxsin? x221sin'x+cos'xcScxsin’xsin’ x即(cotx)=-csc2 x

y   (cot x)     2 cos sin cos sin sin x x x x x     2 2 2 sin cos sin    x x x 例 5 解 2 1 sin x    csc 2 x ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 9 设 y  cot x，求 y' ． cos sin x x         即cot x  csc 2 x． 

01函数和、差、积、商的求导法则CORA人邮教育例）设y=secx,求y'6cosxo解y'=(secx)cos?xcosxsinx=secxtanx,cos"x即(secx)= secxtanx

设 y  sec x , 求 y' ．   2 cos cos x x    2 sin cos x x  y sec x    即 (sec x)  secx tan x . 例 6 解 1 cos x          sec x tan x， 01 函数和、差、积、商的求导法则 10