《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）3-2 向量组的线性相关性

3-2向量组的线性相关性引入(2, 1,- 3, 0)1a 2-300-1°矩阵(-1,1,3，2）的行向量组3121--&1(1, 2, 0, 2)2200量e, =(1, 0, 0)e2 =(0,1, 0)e, =(0, 0,1)2°在3维向量空间R3中，三个坐标向量任一向量=(a,z,）都可以表示为a=aje,aa,e43°线性方程组3

3-2 向量组的线性相关 引入 性 1°矩阵 的行向量组 2°在3维向量空间 中，三个坐标向量 任一向量 都可以表示为 3°线性方程组

一、向量组的线性组合定义1给定向量组α,a,Lam,bk,k,若存在一组数，使得b=ka,+ka2+L+kmam则称向量b是向量组a,α2,L,am的线性组合，或称向量，α？，L可油向量线性表示。所有α1,α2,L,αm的线性组合的集合用）例如，向量组α,=(2,1,-3,0)，α,=(-1,1,3,2)，b=(1,2,0,2)是baa,所以的线性组因为 b=α,+α2注1°向量是任一向量组的线性组合。R = L(ej,e2,e.)2°3°向量组1,a2,L，a㎡中任一向量都可由这个向量组线性表示。a,=Oa, +L +Oa ,-- +la, +Oα i++ +L +Oa m

定义1 给定向量组 ，若存在一组数 ，使得 一、向量组的线性组合 则称向量 是向量组 的线性组合，或称向量 可由向量组 线性表示。所有 的线性组合的集合用 表示。 例如，向量组 因为 ，所以 是 的线性组 注 1° 合。零向量是任一向量组的线性组 合。 2° 3° 向量组 中任一向量都可由这个向量组线性表示

单选题1分设置设β可由向量α =(1, 0,0),α, =(0,0,1)线性表示，则下列向量中β只可能是（）(2,1,1)(-3,0,2)(1,1,0)(0,-1,0)提交

(2,1,1) (-3,0,2) (1,1,0) (0,-1,0) A B C D 提交 单选题 1分

R"=L(ei,e,,L ,e,),ael oa0a0XSo.So1C1=C.e,=e.=ceCMCMCM一311010.即，任一n维向量均可由er,e,,L ,e,线性表出(x,x2,L ,x,)=xe, +xe, +L +x,en.设,2， ㎡R", 则 L(,2，…, ．)为R"的一个子空间——由1，2，…，㎡生成的子空间

即，任一n维向量均可由 线性表出. 设￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ m ￾ Rn , 则 L(￾ 1 ,￾ 2 , ., ￾ m) 为 Rn的一个子空间——由￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ m 生成的子空 间

线性方程组的向量表示a12 x2 +Lbr,ainanxiXna22 X2 +Lb2,a2nxna21 x1LILLL1I11am1.xi+am2X2+LbmamXnbTx+ax.+二aa1A = ( 1, 2 ..., n)

线性方程组的向量表示 A = (￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n )

定理1设A=（1，2…，,)则下列命题等价：10 b L(1, 2 .., ,);2° AX=b有解;3°R(A) = R(A)( 或R(AM)= R(A)b L, 2” .……,证1°2%口n一有数xi,x2,.,x,使得 xa,+xa+L+x,a,=b,ar °aexoSx,:SxtAX=b有解X=C2- (at,a2,L,a,)=b,C M:'CM-→小CCexnoexno

定理1 设 A = (￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n ), 则下列命题等价： 1 o b ￾ L(￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n ); 2 o AX = b有解; 3 o 证 1 o ￾ 2 o： b￾ L(￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ n ) 有数 x1 , x2 , ., xn 使得

LLd,oCinCis2Ci120 □30 设R(A)=rcM0MMCCLd,:CrsCrnA%初等变捞?=(B,d)Od,+1+OOM0C0AX=b与BX=d同解所以 AX=b有解 d+1=0 R(B, d)=R(B)= r R(A) = R(A)

2 o ￾ 3 o 设 R(A) = r, AX = b与BX = d 同解. AX = b有解 ￾ dr+1 = 0 ￾ R(B, d) = R(B) = r ￾ 所以

单选题1分设置非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则下述结论正确的是（）r=n时，方程组Ax=b有唯一解m=n时，方程组Ax-=b有唯一解r<n时，方程组Ax=b有无穷多解r=m时，方程组Ax=b有解提交

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个 数为n，方程个数为m，系数矩阵A的 秩为r，则下述结论正确的是（  ） r=n时，方程组Ax=b 有唯一解 m=n时，方程组Ax=b 有唯一解 r<n时，方程组Ax=b 有无穷多解 r=m时，方程组Ax=b 有解 A B C D 提交 单选题 1分

ix+x,=2例1当1取何值时，线性方程组1i5x,+4x,=3有解？12x +4x,=1112 2ael:0.ael0129ael008.o0.1 =18-1-1解：增广矩阵- 7- 73M4?313M4?+4X1 -40S0201 -1816&24ael oel oa2 O4.CC线性表示。即向量b =3-可由向量组a,=5,a2=4848218其几何意义是b在α，aα组成的平面上，也即三个向量共面

例1 当 取何值时，线性方程组 有解？ 解：增广矩阵 即向量 可由向量组 线性表示。 其几何意义是 在 组成的平面上，也即三个向量共面

例2证明：向量b=(-1,1,5)是向量a,=(1,2,3)"，α，=(0,1,4)"，α，=(2,3,6)的线性组合，并将b用αi,α2,a,线性表示证明考虑线性方程组（αα2α)X=b200002-10aelaelael10o02aelCCCVC01-11co23一14r+rA2S0s040804.0$314600因R(AM)=R(A)，故方程组有解，且b可用α,α2,a,线性表示为b=α+2α2-α3

例2 证明：向量 是向量 的线性 组合，并将 用 线性表示。 证明 考虑线性方程组 因 ，故方程组有解，且 可用 线性表示为