《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第四章 特征值与特征向量 4-2 矩阵的相似对角化

4-2 矩阵的相似对角化复习：对角矩阵的运算特点212设=，考虑A，-，M、相似矩阵的基本概念定义1设A,B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得P-AP=B，则称A与B相似记作A～B，称P为相似变换矩阵。反身性矩阵之间的相似关系也是一种等价关系，具有性质对称性传递性

4-2 矩阵的相似对角化 复习：对角矩阵的运算特点 设 ，考虑                n    2 1 Λ k Λ，Λ ，Λ 1 定义1 设 A,B 为 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP  B ，则称 A 与 B 相似， 记作 A ～ B ，称 P 为相似变换矩阵。 矩阵之间的相似关系也是一种等价关系，具有性质 反身性 对称性 传递性 一、相似矩阵的基本概念

定理1相似矩阵有相同的特征值。证：讠设A～B，则存在可逆矩阵P，使得P-AP=B-B=-P-"AP=P-"P-P-"AP=P-'(-A)P=P---A-P=-A即A，B有相同的特征多项式，因此特征值也相同。P-AP=B相似矩阵的性质（1）相似矩阵有相同的秩；（2）相似矩阵的行列式相等；（3）相似矩阵的迹相等；（4）相似矩阵或都可逆或都不可逆，可逆时，它们的逆矩阵也相似B-=(P-AP)-=P-A-P

定理1 相似矩阵有相同的特征值。 证： 设 A ～ B ，则存在可逆矩阵 P ，使得 P AP  B 1 I B I P AP 1      P IP P AP P ( I A)P 1 1 1           P  I  A  P  I  A    1 即 A，B 有相同的特征多项式，因此特征值也相同。 相似矩阵的性质 （1）相似矩阵有相同的秩； （2）相似矩阵的行列式相等； （3）相似矩阵的迹相等； （4）相似矩阵或都可逆或都不可逆，可逆时，它们的逆矩阵也相似。 P AP  B 1 B P AP P A P 1 1 1 1 1 ( )       

(5-22-41-2-2与A=例1设矩阵A=x相似，求x,yyx=4, y=5(-41-4-2(讨论24=（1）对角矩阵的特征值是什么？元（2）方阵A与对角矩阵^相似，需要具备什么条件？2P-IAP=AAP=PA2.设 P=(pP2,*.,P,), 则 A(pi,P2,..*,P,)=(P,P2,*",P,anAp, =^p,(i=1,2,",n)即,2，,是A的特征值，Pi,P2P是A的n个线性无关的特征向量

例1 设矩阵 与 相似，求                  4 2 1 2 2 1 2 4 A x             4 5 Λ y x, y                n Λ     2 1 （1）对角矩阵 的特征值是什么 ？ 讨论 （2）方阵 A 与对角矩阵 Λ 相似，需要具备什么条件？ P AP  Λ  AP  PΛ 1 设 P  (p1 ,p2 ,  ,pn ) ， 则                n A n n       2 1 1 2 1 2 (p ,p , ,p ) (p ,p , ,p ) A (i 1,2, ,n) pi  i pi   p p pn , , , 即 1 ,2 ,  ,n 是 A的特征值， 1 2  是 A 的 n 个线性无关的特征向量。 x=4, y=5

二、矩阵的相似对角化(1定理2若n阶方阵A与对角矩阵Λ：相似，则元，元，，是A的n全部特征值。定理3n阶方阵A与对角矩阵^相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量注（1）方阵A与对角矩阵相似，也称A可对角化（2）A可对角化→A有n个线性无关的特征向量（3）A有n个互不相同的特征值（特征值都是单根）→A可对角化（4）A～Λ，A的特征值是△的主对角元，若不计顺序，则^唯一。（5）A～△，即P-1AP=△，相似变换矩阵P由A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成，按特征值顺序，P不唯一

二、矩阵的相似对角化 定理2 定理3 若n 阶方阵 A 与对角矩阵 相似，则 是 的                n    2 1 Λ   n , , , 1 2  全部特征值。 （1）方阵 A 与对角矩阵相似，也称 A 可对角化。 n 阶方阵 A 与对角矩阵 Λ 相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 注 （2） A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量 （3） A 有 n 个互不相同的特征值（特征值都是单根） A 可对角化 （4） ， 的特征值是 的主对角元，若不计顺序，则 唯一。  Λ  P AP 1 A ～ Λ A Λ Λ （5） A ～ Λ ，即 ，相似变换矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的特征向量 作为列向量构成，按特征值顺序，P 不唯一。 A

-200202例2判定矩阵A=能否对角化。(311)001+2元-2-2解：令[αI-A==(+2)(+1)(2-2)=0-131-1得=-2，=-1，=2，！特征值都是单根，故A可以对角化

例2 判定矩阵 能否对角化。            3 1 1 2 0 2 2 0 0 A 解：令 3 1 1 2 2 2 0 0            I A  (  2)( 1)( 2)  0 得 1  2，2  1，3  2 ， 特征值都是单根，故 A 可以对角化

2-1253-3例3判定矩阵A=能否对角化。0(-1-2)1元-2-2-51+3-3=(α+1)" = 0得=-1解：令|-A=01元+2当===-1时，考虑齐次方程组(-I-A)X=01(-31 -2)01)(11得基础解系α=121-30-5→(-1)001100A不可对角化

例3 判定矩阵 能否对角化。                1 0 2 5 3 3 2 1 2 A 解：令 1 0 2 5 3 3 2 1 2            I A ( 1) 0 3     得 1  2  3  1 当 1  2  3  1 时，考虑齐次方程组 (I  A)X  0               1 0 1 5 2 3 3 1 2            0 0 0 0 1 1 1 0 1 得基础解系             1 1 1  A 不可对角化

460例4设矩阵A=，问A能否对角化？若能对角化，求可逆矩阵P，使-3-501(-3-6得P-IAP为对角矩阵。0-6[元-403元+5解：令-A==(α+2)(α-1)3 = 0得元=-2，2=2=136元-1当,=-2时，考虑齐次方程组（-2I-A)X=0(-1)001(-6-6得基础解系α=130301-1→1O(36-3)00

例4 设矩阵 ，问 A 能否对角化？若能对角化，求可逆矩阵 P ，使 得 为对角矩阵。                3 6 1 3 5 0 4 6 0 A 解：令 3 6 1 3 5 0 4 6 0          I A ( 2)( 1) 0 3       得 1  2，2  3 1 当 1  2 时，考虑齐次方程组 (2I  A)X  0              3 6 3 3 3 0 6 6 0             0 0 0 0 1 1 1 0 1 得基础解系            1 1 1 1 P AP 1

460例4设矩阵A=，问A能否对角化？若能对角化，求可逆矩阵P，使-3-501(-3 -6得 P-1AP为对角矩阵。当==1时，考虑齐次方程组(I- A)X =0(0)(-2)(-3 -60(120)1α,=0得基础解系αz=000360↓→010003 60A有3个线性无关的特征向量α，α2，α3，故A能对角化。0(-2(-1 -201,则 P-AP=111.令 P=(αpα α)=0111

当 时，考虑齐次方程组 (I  A)X  0            3 6 0 3 6 0 3 6 0            0 0 0 0 0 0 1 2 0 得基础解系                       1 0 0 0 1 2 2 ，3 2  3 1 A 有 3 个线性无关的特征向量 1，2，3 ，故 A 能对角化。 令              1 0 1 1 1 0 1 2 0 ( ) P 1，2，3 ，则             1 1 2 1 P AP 例4 设矩阵 ，问 A 能否对角化？若能对角化，求可逆矩阵 P ，使 得 为对角矩阵。                3 6 1 3 5 0 4 6 0 A P AP 1

2-12例5设α=是矩阵 A=53的一个特征向量，试确定a.b的值及与α1a(-1-1b-2对应的特征值，并讨论A能否对角化。1(2-2-2(1)解：设α对应的特征值为2，则-5-31=0(αl - A)α=n-a1-b元+2八-1(2 -12于是 A=解得1=-1,a=-3,b=053-30-2)(-11[2-2-22+3-3=(α+1)3[α1 - A| =-5可知=-1是A的3重特征值01元+2(-I-A)X=0 的基础解系只含一个解向量，A不能对角化。而 R(-I -A)=2

例5 设 是矩阵 的一个特征向量，试确定 的值及与               1 2 5 3 2 1 2 b A a a,b             1 1 1   对应的特征值，并讨论 A 能否对角化。 解：设  对应的特征值为  ，则  0                               1 1 1 1 2 5 3 2 1 2 ( )      b I A a 解得   1,a  3,b  0 于是                1 0 2 5 3 3 2 1 2 A 3 ( 1) 1 0 2 5 3 3 2 1 2               I A 可知   1 是 A 的3重特征值 而 R(I  A)  2 (I  A)X  0 的基础解系只含一个解向量，A 不能对角化

例6设A是3阶矩阵，且I+A3I-AI-3A均不可逆证明：（1）A可逆；（2）A可以对角化。证：（1）I+A不可逆，则【+A=0即（-1)-I-A=0，从而-I-A=0故 =-1 是A的特征值;1同理，2=3，也是A的特征值，3因为=0，所以A可逆。（2）又因为A的特征值都是单根，故A可以对角化

例6 设 A 是 3 阶矩阵，且 均不可逆， 证明：（1）A 可逆；（2）A 可以对角化。 I  A, 3I  A, I 3A 证：（1） I  A 不可逆，则 I  A  0 即 (1) 3  I  A  0 ，从而  I  A  0 故 1  1 是 A 的特征值； 同理， 也是A 的特征值， 3 1 2  3，3  因为 A  1 2 3  0 ，所以 A 可逆。 （2）又因为 A 的特征值都是单根，故A 可以对角化