《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_第八节 常系数非齐次线性微分方程

第七章 第，、为 常系数脓齐次线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 第七章

二阶常系数线性非齐次微分方程 y”+py+qy=f(x)（p,9为常数) 其通解 y=Y+y* 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 待定系数法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y  + p y  + q y = f ( x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 其通解 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.f(x)=e2xPm(x)型 y"+py'+qy=f(x) 入为实数，Pm(x)为m次多项式. 设特解为y*=e2xQ(x),其中Q(x)为待定多项式， y*'=e2x[2Q(x)+Q'(x] y*"=ex[22Q(x)+2元Q'(x)+Q”(x)] 代入原方程整理得 2"(x)+(22+p)Q'(x)+(22+p2+q)Q(x)=Pm(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

e [ Q ( x) x   + ( 2  + p ) Q  ( x ) ( ) ( ) ] 2 +  + p  + q Q x e Pm ( x)  x = f (x) = e  x Pm (x) 型  为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q ( x) ,  x = 其中 Q ( x) 为待定多项式 , y* e [ Q ( x) Q ( x)] x  =  +   * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x  =  +   +   代入原方程 ,整理得 为 m 次多项式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. y  + p y  + q y = f ( x)

2(x)+(2元+p)Q'(x)+(22+p+9)2(x)=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即22+p2+q≠0， 取Q(x)为m次待定系数多项式2m(x), 从而得到特解形式为 y*=e2xQm(x) y"+py'+9y=0 r2+pr+q=0 HIGH EDUCATION PRESS

从而得到特解形式为 y* e Q ( x) . m  x = Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (1) 若  不是特征方程的根, 取 0 2 r + pr + q = y p y q y   + + = 0

Q"(x)+(22+p)g'(x)2+p±9(x)=Pm(x) (2)若入是特征方程的单根， 即22+p2+q=0, 22+p≠0， 则Q'(x)为m次多项式， y*=ei*Q(x), 故特解形式为y*=xm(x)ex y”+py'+qy=0 r2+pr+q=0 HIGH EDUCATION PRESS ○色O0®8 机动目录上页下页返回结束

(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 Q( x) P ( x) ( ) ( ) = m 2 +  + p  + q Q x 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 r + pr + q = y p y q y   + + = 0 y* e Q ( x) ,  x =

Q"(x)(22+D2'(x)2+p+92(x)=Pm(x) (3)若是特征方程的重根， 即2+p2+q=0,22+p=0 则Q"(x)是m次多项式， *=eixe(x), 故特解形式为y*=x2Qm(x)e2 小结 当入是特征方程的k重根时， 特解y*=xQm(x)e2x(K=0,1,2) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(3) 若  是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则 Q( x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 x m y x Q x e  * ( ) 2 = 小结 y* = x Q ( x) e (k = 0, 1, 2) x m k  Q( x) P ( x) ( ) ( ) = m 2 +  + p  + q Q x 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y* e Q ( x) ,  x =

例1.求方程y”-2y'-3y=3x+1的一个特解 解：本题2=0，而特征方程为r2-2r-3=0, 入=0不是特征方程的根 f(x)=eP.(x) 设所求特解为y*=bx+b1,代入方程 y*=xem(x)ekx -3b0x-3b1-2b=3x+1 比较系数，得 -2- -3b,=3 b0=-1,b=3 于是所求特解为y*=一x+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1 , b0 = − b1 = 于是所求特解为  = 0  = 0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) x m f x e P x  =

例2.求方程y”-5y'+6y三xe2的通解 解：本题2=2，特征方程为，2-5r+6=0,其根为 1=22=3 对应齐次方程的通解为Y=C1e2+C2ex 设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e2x 代入方程得-2bx-b+2b0=x 比较系数，得 2线20一4-4-1 -26=1 因此特解为y*=x(-2x-1)e2x 所求通解为y=Ce2+C2e3x-(3x2+x)e2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r − r + = 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b e 2 0 1 * = ( + ) 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 因此特解为 * ( 1) . 2 2 1 x y = x − x − e 代入方程得 − b x − b + b = x 0 1 0 2 2 所求通解为 ( ) . 2 2 2 1 x − x + x e  = 2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、f(x)=e2x[B(x)cos@x-+Pn(x)sinx]型 分析思路 第一步将f(x)转化为 f(x)=P(x)e()x+(x)e(i)x 第二步求出如下两个方程的特解 y"+py'+qy=P(x)e(atio)x y"+py'+qy=P(x)e(Atio)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 f x e  x  Pl x  x Pn (x)sin x 型 ~ ( ) = ( ) cos + = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( )   i x Pm x e ( ) ( ) +  第二步 求出如下两个方程的特解 i x m y py qy P x e ( ) ( ) +   +  + = y  + py  + qy = 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 i x mP x e ( ) ( ) +  机动 目录 上页 下页 返回 结束

第一步利用欧拉公式将f(x)变形 f-eP) los e-los n(x) eiox-e-iox 2i -4,2] 令m=max{n,7},则 f(x)=P(x)(+Pn(x)e()x =P(x)e+()e) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形   = x f x e  ( )       = + i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (+ )       + − i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (− ) = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( )   i x mP x e ( ) ( ) −  = + +i x mP x e ( ) ( )   i x mP x e ( ) ( ) +  令 m = maxn, l ,则 P (x) l 2 i x i x e e  −  + ( ) ~ P x + n  −  − i e e i x i x 2   机动 目录 上页 下页 返回 结束