《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9_3全微分

第三节 第九章 全微分 元函数y=f(x)的微分 □y▣A☐x□o(口x) 近似计算 dy口fx)Cx 应用 估计误差 本节内容： 一、 全微分的定义 *二、全微分在数值计算中的应用 HIGH EDUCATION PRESS

第九章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分

一、全微分的定义 定义：如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y） 处全增量□z口f(x口☐x,y口□y)口f(x,y)可表示成 AX口B y口o(回)，口口V(0x)2□(0y)2 其中A,B不依赖于口x,口y,仅与x,y有关则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A☐x口B☐y称为函数f(x,y) 在点化，y)的全微分，记作 dz Odf口A0x BOy 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于￾ x , ￾ y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微

由微分定义： limz▣1im(A0x0B口y)口o(O)00 ☐x口0 000 Oy00 得 limf(xD☐x,y口口y)口f(x,y) 国x口0 y0 即 函数：=f(x,)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： ()函数可微，一 偏导数存在 (2)偏导数连续，— 函数可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回

(2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由微分定义 : 得 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即

定理1（必要条件）若函数z=f(化，y)在点(x,y)可微， 则该函数在该点偏导数 吉吉物布卡，有 dz y y 证：由全增量公式□z口A☐x□By口o(□)，令口y口0， 得到对x的偏增量 ▣Z□f(x口☐x,y)口f(x,y)口ACx口o(Cx) lim x00 同样可证 口B,因此有dz口 x[ y HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：定理1的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微」 反例：两数川 和0 x20y200 易知fx(0,0)口f,(0,0)☐0，但 2i0.0)x,(0.0)]x2( ☐xOy □xy x▣y )(Oy2(x)2(y月 0 ☐o(口)因此，函数在点(0,0)不可微 HIGH EDUCATION PRESS 动 返回

反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2（充分条件）若函数z口f(x,y)的偏导数 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

定理2 (充分条件) 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u口f(x,y,z)的全微分为 duL”xyc 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 12 记作dxu d.u dxu,d,u,dzu称为偏微分故有下述叠加原理 du☐dxu☐dvu☐d2u HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 称为偏微分. 故有下述叠加原理 的全微分为 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.计算函数z口exy在点(2,1)处的全微分 z 解： z y(2,1D ☐2e2 2,1 ☐e2dx☐2e2dy☐e2(dx☐2dy) (2,1 例2.计算函数u口x口sin☐e的全微分 解：duC1dxc(2cos;口zevz)dyOye*dz HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数 的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.微分定义：(z☐f(x,y)) ☐zCfx(x,y)☐x口f(x,y)☐y口o(口) 口0V(x)2☐(y) dzf(x,y)dxf (x,y)dy 2.重要关系： 函数连续 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.微分应用 ·近似计算 ☐zCfx(x,y)☐x口f(x,y)□y f(x口□x,y口□y) 口f(x,y)Cfx(x,y)x口fy(x,y)□ •估计误差 绝对误差δz□f(xy)δx可f,(x,y)δy 相对误差 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 返回结束

3. 微分应用 • 近似计算 • 估计误差 绝对误差 相对误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束