《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8-3平面及其方程

第三节 第八章 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结球

第三节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第八章

一、曲面方程的概念 引例：求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离 的点的轨迹方程。 解：设轨迹上的动点M(x,y,z),则AM□BM,即为 V(x☐1)2■(y☐2)2■(z3)2 ☐V(x02)2☐(y☐1)2☐(z☐4)2 化简得2x■6y口2z☐7口0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面 HIGH EDUCATION PRESS

一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离 的点的轨迹方程. 化简得 即为 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 解:设轨迹上的动点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系 (①)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,z)☐0 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形 HIGH EDUCATION PRESS 反回 结肃

定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系 : (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(xo,yo,2o)且垂直于非零向 量n口(A,B,C),求该平面口的方程， 任取点M(x,y,z)口口，则有 MoM☐i 故 MM五a0 M7C(x☐xo,y☐o,2口2o) A(x□xO)□B(y▣yo)□C(z□zo)▣0 称①式为平面口的点法式方程，称为平面口的法向量 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

① 二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面￾ 的点法式方程, 求该平面￾ 的方程. 法向量. 量 则有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求过点 且垂直于向量 的平面口的方程 解：取该平面口的法向量为 又M1口口，利用点法式得平面口的方程 即 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

例1.求过点 即 解: 取该平面￾ 的法向量为 的平面 ￾ 的方程. 利用点法式得平面 ￾ 的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且垂直于向量

例2.求过三点M1(2,☐，4)，M2(▣，3,2)，M3(0,2,3) 的平面口的方程 解：取该平面口的法向量为 n□MM2□MM3 M M3 034 ☐6 M2 ☐23▣1 ☐14,9，☐1 又M,口口，利用点法式得平面口的方程 14(x口2)☐9(y☐1)☐(z☐4)☐0 即 14x☐9y☐z☐15▣0 HIGH EDUCATION PRESS 返回结束

例2.求过三点 即 解: 取该平面￾ 的法向量为 的平面 ￾ 的方程. 利用点法式得平面 ￾ 的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax0By■Cz口D■0(A2☐B2口C2☐0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,y0,20,则 Ax口By0□Cz0口D□0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(xDxo)☐B(y□yo)□C(zDzo)☐0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为☐(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程 HIGH EDUCATION PRESS

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax OBy☐C2□D口0(A☐B2☐C2☐0) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n☐(0，B,C)口i,平面平行于x轴； ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面； 0 ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面 ·Cz+D=0表示平行于xOy面的平面： ·Ax+D=O表示平行于y0z面的平面： ·By+D=0表示平行于ox面的平面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结束

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A口D口0 设所求平面方程为 By口Cz□0 代入已知点(4，口3，☐1)得C口BB 化简，得所求平面方程 y☐3z☐0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页 返回结录

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b.0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x'2o1(a,b,c☐0) a b c 此式称为平面的截距式方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 、返回结束

例3.当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束