《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_3格林公式

第三节 第十一章 格林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章

格林公式 单连通区域（无洞” 区域 区域D分类 多连通区域（有“洞”区域 域D边界L的正向：域的内部靠左 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数，则有 2-8yP+0,公 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 01(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b D 1(y)≤x≤Ψ2(y) c≤y≤d 则器ud-w器r b =∫w2y)y)dy-∫wmy)dy =∫c®(x,yay-了cac(x,ydy =Cx,ydy+∫Ec0x,yaw HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1  2 则 x y x Q D d d     = d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q   = CBE Q(x, y)dy  + EAC Q(x, y)dy  − d c Q( ( y), y )dy 1  = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

即 ,2aa,-f0u 同理可证 -儿ad=fPew灿 ② ①、②两式相加得 是- HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 .照- )dxdy 器-器 -IPa+Ody(D,表示D,的正向边界) =f,Pax+Ody 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2  ( )  =   −   = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d   −     =  = + n k Dk P x Q y 1 d d  = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk  证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

格林公式 dxdy-fPdx+Qdy 推论：正向闭曲线L所围区域D的面积 A-fdy-ydx 脚起上8 0≤0≤2π所围面积 A-fixdy-ydx (abcos20+absin20)de a ab HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积  = − L A xdy y dx 2 1 格林公式    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆     , 0 2 sin cos :      = = y b x a L 所围面积  = +     2 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 a b a b =  ab 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设L是一条分段光滑的闭曲线，证明 手2xydr+x2dy=0 证：令P=2xy,Q=x2,则 0_0P=2x-2x=0 Ox Oy 利用格林公式，得 f2xdx+dy=odxdy=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + =  xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2  +  = D 0dx dy = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算2 dxdy,.其中D是以o0,0,A1,1), B(0,1)为顶点的三角形闭域， 解：令P=0,Q=xe广，则 60 OP B(0,1) A(1,1) Ox Oy 利用格林公式，有 v=x edxdy =fxedy =fxe>dy=fre x dy =1-e) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, y P Q xe − = = 利用格林公式 , 有  − = D y x e dy 2 x e y OA y d 2  − = ye y y d 1 0 2  − = (1 ) 2 1 −1 = − e y = x o y x A(1,1) B(0,1) D 机动 目录 上页 下页 返回 结束

那计算 dy-x,其中为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 -y 解：令P三2+V x2+v 则当x2+y2≠0时， 2_y Ox (x2+y2)20y 设L所围区域为D,当(0,0)D时，由格林公式知 -0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2 + y 2  时 设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时, 由格林公式知 y o x L 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当(0,0)∈D时，在D内作圆周1：x2+y2=r2,取逆时 针方向，记Z和T所围的区域为D,对区域D,应用格 林公式，得 )-nd时0 人- =02cos0+r2n2 d0=2π HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结

    d 2 cos sin 0 2 2 2 2 2  + = r r r = 2 当(0,0) D时, 在D 内作圆周 : , 2 2 2 l x + y = r 取逆时 针方向, D1 , 对区域 D1 应用格  + − − l x y x y y x 2 2 d d  − + + − = L l x y x y y x 2 2 d d 0d d 0 1 = =  x y D L D1 l o y x 记 L 和 l ˉ 所围的区域为 林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束