《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D10_3三重积分

第三节 第九章 三重积分 三重积分的概念 二、三重积分的计算

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章

一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为4(x,y,)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” “分割，近似，求和，取极限” 可得 M=lim∑4(5k,7k,5k)△ →0 k= (5k,7,5k） 下页返回结束

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v  ( , , ) k k k    k v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的 可得  = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “分割, 近似, 求和，取极限

定义.设f(x,yz),(x,y,)∈2，若对2作任意分割： △y(k=1,2,n),任意取点(5k,7k,5k)∈△yk, 记各小闭区域△y(k=1,2,.,)的直径中的最大值为见， 若极限 G5,5.4记作 记作 2-→0 ∬。fx,2aw 存在，则称此极限为函数f(x,y,)在2上的三重积分. dv称为体积元素， 在直角坐标系下常写作dxdydz. 引例中密度函数为4(x,y,z)∈C的空间闭区域2内的 物质的质量：M=川。x,)aw

定义. 设 f x y z x y z ( , , ) , ( , , ) ,   0 1 lim ( , , ) n k k k k k f v     → =  存在, f x y z ( , , ) f x y z v ( , , )d  dv 称为体积元素, d d d . x y z 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 若极限 记作 引例中密度函数为 ( , , ) x y z C  的空间闭区域  内的 M x y z v ( , , )d  = 物质的质量 ：  ( , , , ) , 1 2 k 记各小闭区域 = v k n 的直径中的最大值为

三重积分存在定理 定理 若函数f(x,y,2)在有界闭区域D上连续， 则 (x,y,2)在D上可积. (证明略) 性质：三重积分的性质与二重积分相似. 例如： 中值定理.设f(x,Jy,)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 J∬。fx,yz)dv=f5n,5)y

三重积分存在定理: 若函数 (证明略) 定理. 在 D 上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如: 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 ( , , ) ,      使得 f x y z v ( , , )d  = f V ( , , )    V 为 的 体积

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1.投影法（先一后二 方法2.截面法(“先二后 三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z)  0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、三重积分的计算一化为三次积分 J∬。fx,)ay 1、利用直角坐标系计算三重积分. 方法1.投影法(“先一后二”) =(x,y) 如图：S:乙=(x,y), S S2:7=z2(x,y), (1)将闭区域2向x0y面上投影， (x,y) 得闭区域D; (2)过D内任一点(x,y)作垂直 于x0y面的直线， 与曲面S、S,交点的竖坐标 (x,y)∈D, 分别为(x,八2(x) 从而2： (x,y)≤3≤32(x,y)

1、利用直角坐标系计算三重积分． 二、三重积分的计算——化为三次积分 x y z o  S2 S1 Dxy ( , ) x y (1) xy xoy D 将闭区域  向 面上投影， 得闭区域 ； 1 1 2 2 : ( , ), : ( , ), S z z x y S z z x y = = (2) ( , ) , D x y xoy 过 内任一点 作垂直 于 面的直线 1 2 1 2 ( , ) ( , ) S S z x y z x y 与曲面 、 交点的竖坐标 分别为 、 ． 从而 ： 1 2 ( , ) , ( , ) ( , ) x y D z x y z z x y       f x y z v ( , , )d  如图： 1 z z x y = ( , ) 2 z z x y = ( , ) 方法1. 投影法 (“先一后二” )

⊙)计算/x=Fx) z=2(x,) ④计算∬F(x,y)do D 即 ∬f(x,y,z)w= F(x,y) 7二 0 x施 do. y=y2(x) =∬F(x,y)do y=y(x) =Fc,海 2 f(x,y,z)d

2 1 ( , ) ( , ) ( , , )  z x y z x y f x y z dz [ ] . Dxy = d  f x y z dv ( , , )  = 即  x y z o  D 1 z z x y = ( , ) 2 z z x y = ( , ) a b 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) ( , ) x y F x y ( , ) 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) z x y z x y f x y z dz  (3) 计算 = F x y ( , ) (4) 计算 ( , ) . Dxy F x y d  ( , ) . Dxy = F x y d  2 1 ( ) ( ) ( , ) . b y x a y x = dx F x y dy   2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) . b y x z x y a y x z x y = dx dy f x y z dz   

注：这是平行于z轴且穿过闭区域2内部的直线与闭区域 2的边界曲面S相交不多于两，点情形. 若积分域较复杂，可将它分成若干区域

z S   这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面 相交不多于 注： 两点情形． 若积分域较复杂, 可将它分成若干区域

例1.计算三重积分川。xdxdyd=,.其中2为三个坐标 面及平面x+2y+:=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 解：2：0≤y≤2(1-x) 0≤x≤1 xdxdyd= -xdx 1-x-2y)d 0(x-2x2+x3r= 48 练习：P167题 6 8

例1. 计算三重积分  d d d , 其中 为三个坐标  x x y z x + 2 y + z = 1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解: :   x d x d y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z  1− x − 2 y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x  1 48 1 = 面及平面 练习： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P167题 6

补充：利用对称性化简三重积分计算 1、积分区域关于坐标面的对称性： 2、被积函数在积分区域上的关于三个变量的 奇偶性。 一般地，当积分区域2关于x0y平面对称时， (1)若被积函数f(x,y,z)是关于z的奇函数，则三重积分为零； (2)若被积函数f(x,y,z)是关于z的偶函数，则三重积分为Q 在x0y平面上方的半个闭区域的三重积分的2倍

补充：利用对称性化简三重积分计算 １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个变量的 一般地，当积分区域关于xoy平面对称时， （1）若被积函数 f ( x, y,z)是关于z的奇函数，则三重积分为零； （2）若被积函数 f ( x, y,z)是关于z的偶函数，则三重积分为 在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的 2 倍. 奇偶性．