《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D10_1二重积分概念

第十章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 {曲线积分 曲面积分

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分

第一为 第九章 二重积分的概念与性质 引例 二、二 重积分的定义与可积性 三、二 重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算

三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章

z=f(x,y) 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体： 底：xoy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)20 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想 “分割，近似替代，求和，取极限” 上页下页返回结束

解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割, 近似替代, 求和, 取极限” D 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)分割： 用任意曲线网分D为n个区域 z=f(x,y) △01，△02，.，△on 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5k, 小曲顶柱体 2)近似替代： (5k,7△o 在每个△5中任取一点（传k,k),则 △k≈f(5k,7k)△ok(k=1,2,n) 3)求和： P-2/6,no C8

D 1)分割： 用任意曲线网分D为 n 个区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)近似替代： 在每个 3)求和：  =   n k k k k f 1 ( , )  ( , ) k k f   V f ( , ) (k 1,2, ,n)  k   k k  k =  中任取一点 则 小曲顶柱体  k ( , )  k k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D y x

4)取极限： 定义△0的直径为 (Aok)=max{PP☑，B∈△ok} 令元=max{(Aok)} 1l≤k≤n z=f(x,y) V=lim 2→0 (5k,n） △OK 下页返回结束

4)取极限： ( k ) = max P1P2 P1 ,P2  k 令 max ( )  1 k k n  =      = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )   ( , ) k k f    k ( , )  k k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.平面薄片的质量 有一个平面薄片，在xoy平面上占有区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M. 若4（化，y)=4(常数），设D的面积为o,则 M=uo 若4(x,)非常数，仍可用 “大化小，常代变，近似和，求极限 解决 1)分割： 用任意曲线网分D为n个小区域Ao1,△o2,.,△on, 相应把薄片也分为小区域 返后

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M =   若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)分割： 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小区域 . D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x

2)近似替代： 在每个△ok中任取一点(5k,7k),则第k小块的质量 AMk≈u(5k,7k)△ok(k=1,2,.,n) 3)求和： M=∑AlMs∑u(5,)Ag 4)取极限： 令元=max{2(△ok)} (5k,7k) △Ok lsk≤n M=lim∑4(5k,nk)△ok >0 k=1 C8 机动 下页返回结束

2)近似替代： 在每个 k 中任取一点 ( , ),  k k 3)求和：  =   n k k k k 1  ( , )  4)取极限： max ( ) 1 k k n  =     令  → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )    k ( , )  k k 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x

两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 分割，近似替代，求和，取极限 (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： n V=Im∑f5,k)△o4 九→0 k=1 平面薄片的质量 M=lim∑4(5k,nk)Ao& -→0 8

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同  = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )    → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )   曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分割, 近似替代，求和,取极限

二、二重积分的定义及可积性 定义：设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数 将区域D任意分成n个小区域△ok(k=1,2,.,n), 任取一点(5k,k)∈△ok,若存在一个常数I,使 J∬f(x,y)do 入>0 D 则称f(x,y)可积，称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 f(x,y)da 积分表达式 x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素 8 下页返回结束

二、二重积分的定义及可积性 定义: 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I 为 f (x, y) 在D上的二重积分. x , y称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△ok=△x△yk,因此面积元素do也常 记作dxdy,二重积分记作 )dxdy 引例1中曲顶柱体体积 V=∬nf(x)do=∬nfx,y)dxd 引例2中平面薄板的质量 M=∬na(x,)do=j∬na(x,y)dxdy

 = D V f (x, y)d 引例1中曲顶柱体体积:  = D M  (x, y)d 引例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y) 在D上可积, 也常 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作  = D f (x, y)d x d y  = D  (x, y)d x d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束