《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章_D10_1二重积分概念

第十章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 {曲线积分 曲面积分

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分

第一为 第十章 二重积分的橇念与性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 返回结束

三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章

一、引例 z☐f(x,y》 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底：xoy面上的闭区域D 顶：连续曲面z口f(x,y)口0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积」 解法：类似定积分解决问题的思想 “大化小，常代变，近似和，求极限 HIGH EDUCATION PRESS c08 机动 下项返回 束

解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)大化小” 用任意曲线网分D为n个区域 z口f(x,y) D1,①2,0，①% 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(口， 小曲顶柱体 2)常代变” 在每个卫中任取一点（口，口），则 □V□f(C,口k)①k(k☐1,2，口，n) 3)“近似和” n VO口回V口口f(O,0k)工& k K▣ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 中任取一点 则 小曲顶柱体 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4)“取极限” 定义口的直径为 (ak)☐max PP P,P口0Dk0 令 o口max□C(C0k)[ 1□k0n z口f(x,y) V口lim☐f(Ck,口k)四k 00k1 f(, (口，) HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页返回 结束

4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.平面薄片的质量 有一个平面薄片，在xo少平面上占有区域D,其面密 度为口(x,y)口C,计算该薄片的质量M 若口(x,y)口口（常数），设D的面积为口则 MOO四 若口(x,y)非常数，仍可用 大化小，常代变，近似和，求极限 解决 1)大化小” 用任意曲线网分D为n个小区域工1，工2，口，工n, 相应把薄片也分为小区域 HIGH EDUCATION PRESS 机动 、返回结束

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为￾ , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)常代变” 在每个工k中任取一点（口，口k),则第k小块的质量 ☐Mk☐□(0，D)①k(k☐1,2，☐，n) 1》 3)“近似和 MO口DMk0▣口(Ck,k)工A 1 4)取极限 令口口max(O口k) (k,k) 1□k0n M口lim☐ 口(Ck,口k)Dg 000ka HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 “大化小，常代变，近似和，取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积： n V Olim☐f(,k)①& 00k1 平面薄片的质量： M口1im☐□(Ck,巴k)巴k O00k口 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、二重积分的定义及可积性 定义：设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数 将区域D任意分成n个小区域☐口k(k☐l,2,口，n), 任取一点(，口)口□☐，若存在一个常数I,使 n 7▣lim f0,0)四，记作 四f(x,y)dd 000 k▣ 则称f(x,y)可积 称I为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 f(x,y)d☐ x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

二、二重积分的定义及可积性 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时Dk口☐xy,因此面积元素d口也常 记作dxdy,二重积分记作 f(x,y)dxdy. 引例1中曲顶柱体体积： VDpf(x,)dD口四f(x,)dxdy 引例2中平面薄板的质量 M口四(x,y)d口口g(x,)dxdy HIGH EDUCATION PRESS 返回结束

引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束