《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D11_1对弧长的曲线积分

第十一章 曲线积分与曲面积分名 积分学定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域区间域 平面域 空间域曲线域 曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 ( 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分

第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分

第一为 第十章 对狐长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、 对弧长的曲线积分的计算法 下页返回结束

第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章

复习：定积分求平面曲线L的弧长 y=f(x)(M≤x≤b) ds =/dx)2+(dy)2 (x) x=p(t) (a≤t≤β y=w() ds=√p2()+2(0)d 3. 极坐标方程：P=p(0(a≤0≤P ds=√p2(0)+p(0)d0

y f x = ( ) 2 = +1 d y x  复习：定积分求平面曲线L的弧长 2. 2 2 d ( ) ( ) d s t t t = +     2 2 d (d ) (d ) s x y = + 3. 极坐标方程: 2 2 d ( ) ( ) d s = +       1. x y o x dx dy ds x x + d

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例：曲线形构件的质量 B 假设平面曲线形细长构件所占 弧段为AB,其线密度为4(x,y), (5,nk） Mk 为计算此构件的质量，采用 Sk Mk- “大化小，常代变，近似和，求极限” (分割、近似、求和、取极限) 可得 M=1im∑(5，hk)△s 2→0k=1 (为各个小弧段的最大长度) 下页返回结束

A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设平面曲线形细长构件所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得  = n k 1 M = 为计算此构件的质量, k s Mk−1 ( , ) Mk  k k 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (分割、近似、求和、取极限) (λ为各个小弧段的最大长度)

2.定义 设L是平面内一条有限长的光滑曲线，f(x,y)在L上 有界，将曲线L任意分成n个小段，设第i个小段的长度为 △s:(i=1,2,n),(5,7)为第i个小段上任意取定的一点， 为各个小弧段的最大长度，若极限 5a,花作/kas 都存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲线 (5,n:) M L上对弧长的曲线积分，或第一类曲线积分. f(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段. 曲线形构件的质量M=∫，4(x,y)ds

将曲线 L 任意分成 n 个小段， 小段上任意取定的一点， 设 L 是平面内一条有限长的光滑曲线, 有界, 2. 定义 若极限 设第 i 个小段的长度为 λ为各个小弧段的最大长度， ( , ) i i i f s    都存在, L上对弧长的曲线积分, ( , )d L f x y s  则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数，L 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 = ( , )d L M x y s  1 n i= lim →0  记作 为第 i 个 L Mi−1 Mi i s ( , ) i i  

如果L是xoy面上的曲线弧，则定义对弧长的曲线积 分为 ()ds=in>f)Asg →0k=月 如果L是闭曲线，则记为，f(x,y)ds 思考： (I)若在L上fx,1,问ds表示什么？ (2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例？ 否！对弧长的曲线积分要求ds≥0，但定积分中 dx可能为负 下页返回结束

如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0    L f (x, y)ds 如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds  0 , 但定积分中 dx 可能为负

3.性质 (四J,[afx,)±Bg(c,y]ds =a.fx,)ds±28(x,)d(af为常数 ②jx,d=.xd+2fx,d (L由L1、2组成) (3)若在L上f(x,y)≤g(x,y),则 f(x,y)dss,g(x,y)ds 特别地，有fx)d≤，a ∫ds=s表示曲线的长度

3. 性质 (1) ( , ) ( , ) d   L   f x y g x y s   (α,β 为常数) (2) ( , )d L f x y s  ( L 由 L1、L2 组成 ) ( , )d ( , )d L L =    f x y s g x y s   1 2 ( , )d ( , )d L L = + f x y s f x y s   (3) ( , ) ( , ) ( , )d ( , )d L L L f x y g x y f x y s g x y s     若在 上 ，则 d L s s =  表示曲线的长度

二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分 转化 ,计算定积分 定理：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=yt)(a≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分∫，∫(x,y)d存在，且 x)ds=jo.w小p2)+w)dt 证：根据定义 jx月ds=m∑5a,n:A4 下页返回结束

  =  +    f x y ds f  t  t  t  t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0    机动 目录 上页 下页 返回 结束

设各分点对应参数为tk(k=0,1,.,n), 点(5k,k对应参数为tk∈[tk-1,tk], 2()2()dr Vo()+2(以)Mk,东∈[-1， 则f(cx,)ds =gm∑/九0(e1p严)+w产)N 注意√p2(0+2(t)连续 lim ∑fIp(k),y(k)]V2(k)+y(k)△x 元→0k

点 ( , )  k k s t t t k k t t k ( ) ( ) d 1 2 2  −  =  + ( ) ( ) , 2 2 k k k =    +   t  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f     注意  2 (t) + 2 (t)连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f     机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此 f(y)ds =∫g几9)，yp2)+2)di 说明： (I):ASk>0,△k>0,因此积分限必须满足<B! (2)注意到 ds =v(dx)2+(dy)2 =V02()+w2()di 因此上述计算公式相当于“换元法

dx dy ds x y o 说明: (1)   0,  0, k k  s t 因此积分限必须满足    ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 =  + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束