《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D11_7斯托克斯公式

第七节 第十章 斯花克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式 *二、 空间曲线积分与路径无关的条件 三、 环流量与旋度 *四、向量微分算子 下页返回结束

三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章

一、斯托克斯(Stokes)公式 定理1.设光滑曲面Σ的边界「是分段光滑曲线，Σ的 侧与T的正向符合右手法则，P,Q,R在包含Σ在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数，则有 OP OR Oz Ox dzdx+ dxd y Ox ={Pdx+Qdy+Rdz (斯托克斯公式 证：情形1Σ与平行z轴的直线只交于 一点，设其方程为 Σ：z=f(x,y),(x,y)eDxy 为确定起见，不妨设Σ取上侧（如图） 简介目录上页下页返回结束

  y o z x 一 、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线,  = Pd x + Qd y + Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证: 情形1  与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 Dx y  : z = f (x, y), (x, y) n 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). Dx y C 则有 简介 目录 上页 下页 返回 结束

则Pdx=cPx,(xydx e-儿，是xxR,Ny (利用格林公式 -号1ay -I5+2,l7as cos7=++7cosB=+ fy=- cos B cosy 定理1目录上页下页返回结束

则  Pd x  = C P(x, y,z(x, y))d x P x y z x y x y (利用格林公式) Dx y y ( , , ( , ))d d    = −   x y y z z P y P Dx y d d     +   = −  f  S z P y P y cos d   +   = − cos , 2 2 1 1 x y + f + f   = cos , 2 2 1 x y y f f f + + −  =   cos cos  f y = −   y o z x n Dx y C 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

手Pa=儿罗8 因此 ]cosy dS 0z cosy ap cosy dS ∂z 0y Paxay 同理可证 0ay-0dxdy- dyd- 于-4a: aRdzdx 三式相加，即得斯托克斯公式， 定理1目录上页下页返回结束

因此   S z P y P P x cos d cos cos d      −   = −     S y P z P cos  cos d   −   =  x y y P z x z P d d d d   −   =  同理可证  Qd y y z z Q x y x Q d d d d   −   =   Rd x z x x R y z y R d d d d   −   =  三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

情形2曲面2与平行z轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助线面把Σ分成与z轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相加，由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消，所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕 注意：如果Σ是xoy面上的一块平面区域，则斯托克斯 公式就是格林公式，故格林公式是斯托克斯公式的特例， 定理1目录上页下页返回结束

情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把  分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果  是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

为便于记忆，斯托克斯公式还可写作 dydz dzdx dxdy a 8x 0y Dz =$Pdx+Qdy+Rd= P R 或用第一 类曲面积分表示 cos a cos B cosλ a ds=手Pdx+dy+RdE Q 定理1目录上页下页返回结束

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:         P Q R x y z d y d z d z d x d x d y  = Pd x + Qd y + Rd z 或用第一类曲面积分表示: S P Q R x y z d cos cos cos             = Pd x + Qd y + Rd z 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.利用斯托克斯公式计算积分dx+xdy+ydz 其中T为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个 边界，方向如图所示 解：记三角形域为Σ，取上侧，则 }=dx+xdy+ydz dydz dzdx dxdy -f 品 y -fdvd=+d-dx+dxdv-3dxdy- 利用对称性 机动目 下页返回结束

z x y y z z x x y x y  z       = d d d d d d z x y 1 1 1 o 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示.  = d y d z + d z d x + d xd y 利用对称性 = Dx y 3 d xd y 2 3 = Dxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.T为柱面x2+y2=2y与平面y=z的交线，从Z 轴正向看为顺时针，计算7=y2dx+ydy+xzdz. 解：设Σ为平面z=y上被T所围椭圆域，且取下侧 则其法线方向余弦 cosa=0,cos B= 2 COSY=- 2 利用斯托克斯公式得 cosa cos B cos y ds=2∬0-as=0 公式目录上页下页返回结束

例2.  为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 o z 2  y x 解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 I d S   = = 0 则其法线方向余弦 cos cos  cos  x y  z      y xy xz 2  公式 目录 上页 下页 返回 结束

*二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2.设G是空间一维单连通域，函数P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数，则下列四个条件相互等价： (1)对G内任一分段光滑闭曲线T,有 fPdx+Qdy+Rd==0 (2) 对G内任一分段光滑曲线T,rPdx+Qdy+Rd 与路径无关 (3)在G内存在某一函数u,使dw=Pdx+Qdy+Rdz (4)在G内处处有 =迟，迟 x’O2 dyOx 机动目录上页下页返回结束

du = Pd x + Qd y + Rd z *二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有 d + d + d = 0  P x Q y R z (2) 对G内任一分段光滑曲线 ,  Pd x + Qd y + Rd z 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 z P x R y R z Q x Q y P             = , = , = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证：(4)一（①）由斯托克斯公式可知结论成立 (①)→(2) (自证 (2)→(3) 设函数 4(xy,2)= (x,y,z) Pdx+Ody+Rdz (x0,0,20) 则 Bu (x+△x,y,2)-(x,y,2) 8x lim △x→0 △x ra÷04ka: 0pa-ia*asy = △x→0 =P(x,y,2) 定理2目录上页下页返回结束

 = + + ( , , ) ( , , ) 0 0 0 ( , , ) d d d x y z x y z u x y z P x Q y R z 证: (4)  (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; (1)  (2) (自证) (2)  (3) 设函数 则 x u    +  → + +  = ( , , ) ( , , ) 0 d d d 1 lim x x y z x y z x P x Q y R z x 0 lim  → = x x u x x y z u x y z  ( + , , )− ( , , )  +  →  = x x x x P x x d 1 lim 0 lim ( , , ) 0 p x x y z x = +   → = P(x, y,z) 定理2 目录 上页 下页 返回 结束