《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_第九章 第三节 全微分

第三节 第八章 全微 元函数y=f(x)的微分 △y=A△x+O(△x) dy=f'(x)△x 应甩 近似计算 估计误差 本节内容： 全微分的定义 *二、全微分在数值计算中的应用

第八章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分

全微分的定义 定义：如果函数：=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △：=A△x+BAy+O(P),P=V(△x)2+(△)1 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,)可微，AAx+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△y 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微 D 页返回结束

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. A x + B y

由微分定义： lim Az=lim[(AAx+BAy)+(p)]=0 △x→0 p-→0 △y→0 得 lim f(x+Ax,y+Ay)=f(x,y) △x>0 △y-→0 即 函数z=fx,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续 函数可微

(2) 偏导数连续 z = f ( x +  x, y +  y) − f ( x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即

定理1（必要条件）若函数z=f(x,y)在点x,y)可微 则该函数在该点偏导数 02.03必存在且有 ox’ay dz-0Ax+Ay 8x 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+o(p),令△y=0, 得到对x的偏增量 △xZ=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) 02 lim △x-→0△X 同样可证 2=B,因此有dz= x+ 0y 下页返回结束

定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o ( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：定理1的逆定理不成立.即： 偏导数存在函数不一定可微 反例：函数f(x,)= x2 易知f(0,0)=fv(0,0)=0,但 ()(0)Ay- △x△y △x△y △x△y MA+(A(A)+( ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微 返回

反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0 ) x f ( 0, 0 ) y]  − x  + y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2（充分条件）若函数z=f化，)的偏导数，三 ∂x'∂y 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 *证：A2=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△yJ +[f(x,y+△y)-f(x,y] f(x+0Ax,y+Ay)Ax+fy(x,y+02Ay)Ay 00 0 △y-→0 机动 上页 下页返回结束

= [ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) y z x z     , *证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1 ) 1  2  f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y + [ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.   机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

△z= fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+aAx+BAy lim a=0,lim B=0 △x→>0 △y->0 △y-→0 注意到 K9斗a.德有 △=fx(x,y)Ax+f(x,)Ay+o(p） 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 结

z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , )       + x + y 所以函数 + x +  y 在点 可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束       lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数=f(x,y,)的全微分为 du= ++Ou= 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 Ou du= Ox ∂y 记作dsu dyu d-u dxu,dyu,d:u称为偏微分.故有下述叠加原理 du=dxu+d,u+d-u 下页返回结束

 +   x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d   + uz d 的全微分为  +   y y u z z u    于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u u u x y z d ,d ,d

例1.计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分 解： 6 _=yexy 0z O =xexy 0y 2e- ay(2,1 ∴.dz =e2dx+2e2dy=e2(dx+2dy) (2,1) 例2.计算函数u=x+sin)+e”的全微分 解：du=1dx+(cos+zey)dy+yedz

例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: =   x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z =   =   例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + =   y z , xy ye xy xe y z z e 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习.已知z=arctan+y,求dz x-y 答案： dz=-ydx+xdy x2+y 第四节目录上页下页返回结束

答案: 练习.已知 第四节 目录 上页 下页 返回 结束