《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D12_5幂级数的应用

第十一章第五节函数幂级数展开式的应用近似计算欧拉公式机动自录上页下页返回结束

第五节 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章

近似计算一例1.计算5/240的近似值，精确到10解：5/240=5/243-3=3(1-±)%0.5x10240~~3-0.00741~2.9926A下页返回结乐

一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) (−1  x  1) 例1. 计算 5 240 10 . −4     r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4    3 12 3 1 5 3! 1 4 9     +  +     + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14    81 8 1 1 1 3 1 25 6 − =   ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5   −   3− 0.00741  2.9926 的近似值, 精确到    +      + +         2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10−   3 1   = 4 3 1 5 1 −  2 8 3 1 5 2! 1 4    −  −    − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243−3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −    机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算 ln2的近似值,使准确到10-4解：已知ln(1 +x) = x-1<x≤1)(-1≤x<1)InC故-ln(1-xn(-1<x<1)号导于是有n结束

( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4  − = − − − − − −  x  x x x x x  例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得       = +  3 +  5 +  7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在上述展开式中取前四项0.2×1078732In2~0.6931·一~A-E

4 9 3 1 9 1 2     r =        11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − =          +  +  +  3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2  0.6931 11 3 1 11 1 +     +  13 + 3 1 13 1 9 4 3 1  = 4 0.2 10 78732 1 − =   在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：在展开式中n为自然数)，得n-. ln(n+ 1)= lnn + 2具此递推公式可求出任意正整数的对数：如~1.6094In5=2li结束XH

说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 ln n n n n n 得 ln(n +1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如       = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 ln5 2ln 2 2 1.6094 ( n为自然数) ,       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ln 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

求sin9°的近似值，并估计例3. 利用Asinx~x31误差元元(弧度)解：先把角度化为弧度18020元sin2010.157080-0.000646福2020320~ 0.1564310-5误差不超过E

 = − 3 + 5 − ) 7 + 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  5 10 3 1 −   3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − +  0.157080 − 0.000646 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计  0.15643 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2x的近似值，精确到10-4例4.计算积分dxe元JO取~0.56419)X解：213!ZYA(18Λx+8)nn=02n8x-1)ndxn!n=0ndx =22n+n!(2n+1)结束小XL

( 取 例4. 计算积分 的近似值, 精确到 0.56419) 1   解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n   = = − (−  x  +) e x x d 2 2 2 1 0 −   dx 2 2 1 0      =  ! ( 1) 2 0 n x n n n   = −   = − = 0 ! 2 ( 1) n n  n x x n d 2 0 2 1  1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x   =  − = 0 ! 2 ( 1) n n  n 2 1 2 1 n+ (2n +1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.5.2!26.7.32欲使截断误差V元 nl(2n+ 1).22n104>n≥4取n=4.则所求积分近似值为一.3~0.5205A-王

( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6   −   +   −   e −x dx = 2 2 1 0 2          +   −   +  = −  2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6  n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 +    4 10−  2 4  !(2 +1) 2 10 n 则 n 应满足  n n e x x d 2 2 1 2 0  −  则所求积分近似值为 欲使截断误差  0.5205 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1sinx例5.计算积分dx 的近似值,精确到10-40xsin x解：由于lim=1,故所给积分不是广义积分Xx-→0若定义被积函数在x=0处的值为1，则它在积分区间上连续，且有幂级数展开式2nsinxYX3!7(2n +1)!(-1)n3.3!5.5!(2n + 1) ·(2n+ 1)!<0.3×10-47.7!35280~1-0.05556 +0.00167 ~ 0.9461eO00目结束质区回

例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间  + + = − + − + + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 n x x x x x x n n x x x d 1sin 0  =1 −  + 5 5! 1  + +  + − + (2 1) (2 1)! ( 1) n n n r3  1− 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 :  0.9461 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 欧拉(Euler)公式8对复数项级数Z(un +ivn)n=l88若un=u，vn=v,则称收敛，且其和为u+iv.n=1n=+若Z|un+ivn|=/u+收敛，则称①绝对收敛.n=ln=[≤un?+v,?，故知由于/≤unUr+888Zun，vn 绝对收敛Z(un +ivn)绝对收敛n=ln=ln=8(un +ivn)收敛n=l000欧拉-E

二、欧拉(Euler)公式 则称 ① 收敛 , 且其和为 ( ) 1 n n n  u + i v  = 绝对收敛 , 1   n= n u ( ) 1 n n n  u + i v  = 收敛 . , 1 u u n  n =  = , 1 v v n  n =  = 若 n n n  u + i v  =1 u + i v. 2 2 1 n n n =  u +v  = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u  u + v 2 2 n n n v  u + v ①   n=1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束