《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章_D10_3三重积分

第三节 第十章 三重积分 三重积分的概念 二、三重积分的计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第十章

一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为4(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim∑A(5,7k,5)Av △V为 2→0 k=1 (5k,7k,5) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v  ( , , ) k k k    k v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的 可得  = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义.设f(x,y,2),(x,y,z)∈2，若对2作任意分割 △yk(k=1,2,.,n),任意取点(5k,刀k,5)∈△V%,下列 积和式” 极限 “乘 2/Ea-ma.y-过n 2 2-→0 k=1 存在，则称此极限为函数f(x,y,2)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似，例如 中值定理.设∫(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 f)dv=f(5.n5)v HIGH EDUCATION PRESS D0C⊙8 机动目录上页下页返回结束

定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k  f v → = lim ( , , ) 1 0     存在, f (x, y,z)  f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 (,, ), 使得  f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1.投影法（先一后二”） 方法2.截面法（先二后一”）》 方法3.三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z)  0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法1.投影法（先一后二”） Q6):s, z=22(x,y) (x,y)∈D 细长柱体微元的质量为 uxd Z= ☑i(xy） 该物体的质量为 fdv d-)dxdy 微元线密度 记作「 f(x,y,=)dxdy na f(x,y,z)d正 HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束

z x y D  = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” )        x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1        该物体的质量为  f (x, y,z)d v        ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D  z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f (x, y,z)dxdy 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法2.截面法(“先二后一”） (x,y)∈D b a≤z≤b 以D为底，dz为高的柱形薄片质量为 a (∬nfx,yz)dxdy)da 该物体的质量为 面密度 fdv f(x,y,=)dz -)dxd)d- t∫ajo,八，dd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 (  = b a DZ f (x, y,z)d x d y  DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f (x, y,z)d z 面密度≈ )dz 记作  机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法3.三次积分法 21(x,y)≤z≤22(x,y) 设区域Ω： eD27分2w a≤x≤b 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得 f)dy a dy 投影法 ddyd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

投影法 方法3. 三次积分法 设区域  : 利用投影法结果 ,         a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y  z  z x y 把二重积分化成二次积分即得:   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z  ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z  ( ) ( ) 2 1 d y x y x y  = b a dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结：三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” 7儿d- 方法2.“先二后一” j∬。fxy,a)dv=d-∬.f(x.)dxdy 方法3.“三次积分” v-aa 三种方法（包含12种形式）各有特点，具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分”   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z   = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy    = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.计算三重积分 0。xdxdyd:,其中2为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 解：2：0≤y≤2(1-x) 0≤x≤1 J川xdxdyd:. =jxdx-ay。-d =6xdx-0-x-20 =4x-2x2+x2a= 8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算三重积分  d d d , 其中 为三个坐标  x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解:  :   x d x d y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算三重积分 dxdydz, 其中Q: .2 b3×、 -C≤z≤C D 用先二后一 Jj∬dxdydz=-Je子d=∬p.dxdy =2r1-专=6a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贡 下页返回结束

x y 例2. 计算三重积分 z 解:  :  =  z d x d y d z 2 − = − c c z c z 2 z ab(1 )d 2 2 2  − c  z  c 2 2 2 2 2 2 : 1 c z b y a x Dz +  − Dz d x d y − c c z d z 2 3 15 4 =  abc a b c 用“先二后一 ” Dz z 机动 目录 上页 下页 返回 结束