《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章_D10_2二重积分的计算

第二为 第十章 二重积分的汁算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第十章

复习：己知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),A(x)在[a,b] 上连续，则对应于小区间x,x☐x的体积元素为 dV□A(x)dx 因此所求立体体积为 V口Acx)dx xx☐dx HIGH EDUCATION PRESS 结录

复习：已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续

特别，当考虑连续曲线段y口f(x)(a口x口b)绕x轴 轴旋转一周围成的立体体积时，有 yf(x) 当考虑连续曲线段 x□□(y)(c口y口d) 绕y轴旋转一周围成的立体体积时， 有 9【(yay HIGH EDUCATION PRESS 以回 结束

特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 y2(x) ()口y02(x) ax b 任取xo口[a,b],平面x口xo截柱体的 截面积为4A(xo)口 故曲顶柱体体积为 V口四f(x,y)d口口A(x)ax b.2(x 2(x f(x,y)dy ]dx f(x,y)dy (x HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结明

一、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

同样，曲顶柱的底为 D口(x,y)口1y)口x☐□2(y),c口y口d[ 则其体积可按如下两次积分计算 V□四f(x,y)dD ddy dd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积. 解：设两个直圆柱方程为 x2☐y2R2,x2☐z2口R2 利用对称性，考虑第一卦限部分 ▣y2☐R 其曲顶柱体的顶为z口VR2口x2 yD: x2☐z2☐R2 则所求体积为 R2x2dxdyR2dx dy 8R2ndxtR HIGH EDUCATION PRESS 反回

例1. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知，当被积函数f(x,y)口0 且在D上连续时，若D为X-型区域 yty口口2(x D: 1(x)口y☐□2(x) a☐x☐b 则 f()dxdydx f(x,y)dy D7-收00 x□2(y 则 四/c,yddyd.d HIGH EDUCATION PRESS 机动 这回结束

二、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域， 则有 四f(x)drdy 旦2(x) ol b x 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干y X型域或Y-型域，则 HIGH EDUCATION PRESS 回

说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.计算I0四xd口，其中D是直线y=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 解法1.将D看作X-型区域，则D: 1pdy马y2ax x吗xx8 1 x2x 解法2.将D看作Y-型区域，则D: H10y2 r-dyoxuyc ug HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 回结束

例2. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.计算 四xvdD,其中D是抛物线y2☐x及直线 y口x口2所围成的闭区域！ 解：为计算简便，先对x后对y积分 则 10y2 yx口2 y☐2 gd如dydx n四ay0u22] 22名皮 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

例3. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束