《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9_6几何中的应用

第之节 第九章 多元画数微分学的儿何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 HIGH EDUCATION PRESS

第六节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章

复习：平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线y=f(x)在点(xo,yo)有 切线方程y-y0=fxo)x-xo） 法线方程y·V0=- (x-xo） fdxo) 若平面光滑曲线方程为F(x,y)=0,因 dy=.Fxy） d F(x,y） 故在点(x,yo)有 切线方程F(o,yo)(x-xo)+F,(0y0Xy-yo)=0 法线方程F,(xo,yox-x)-F(xoyo)y-yo)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回

复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面 点击图中任意点动画开始或暂停 HIGH EDUCATION PRESS 结束

一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停

1.曲线方程为参数方程的情况 G:x=j(),y=y(),2=w() 设t=10对应M(xo,y0,0) t=to+D对应M攻x+Dx,yo+Dy,20+Dz 割线Mc的方程： X:X0=y二0=2-20 Dx Dy Dz 上述方程之分母同除以D1,令D1®0，得 切线方程 米-0=yY0=2-20 ito)v to) wto） HIGH EDUCATION PRESS 自录 下页 返回 结

1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

此处要求ito),y(t),wt,)不全为0， 如个别为0，则理解为分子为0 切线的方向向量： T=0o)yo),w》 称为曲线的切向量 T也是法平面的法向量，因此得法平面方程 i0)x-xo)tyo)y-yo)+w10)(z-20)=0 说明：若引进向量函数(t)=()(t),y(1),w(t)),则口 为()的矢端曲线，而在t。处的导向量 rdto)=(i gto),y c(to),weto)) 就是该点的切向量 HIGH EDUCATION PRESS 机动 结

此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 ￾ 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量

例1.求圆柱螺旋线x=Rcosj,y=Rsin/,2=材在 =号对应点处的切线方程和法平面方程 解：由于xe-Rsinj,y心Rcos7,zc=k,当)=号时， 对应的切向量为T=(R,0,故 Mo(0,R,号k) 切线方程 x=yR=2-5k -R 0 即 kx+Rz-号Rk=0 y-R=0 法平面方程-Rx+k(z-号k)=0 即 Rx-kz+gk2=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上贡 下页 返回 结束

例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 即 解: 由于 对应的切向量为 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 故

2.曲线为一般式的情况 光滑曲线G F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 当J= 1(F,G) 1 0时，口可表示 (x) 且 T(v,2) 为 Z三y ()有 dy _1(F,G) dz 1T(F,G) dx J(z,x) dx J(x,y) 曲线上一点M(xo,yo,2,)处的切向量为 T={1,j4xo）,yxo)} 11(F,G) 1(F,G M (x,y) HIGH EDUCATION PRESS 机动 日品 返回 结束

2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 当 曲线上一点 , 且 有 时, ￾ 可表示 为 处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

或 I(F,G) (F,G) 1(F,G) (y,2) M (z,x) M (x,y) Mb 则在点M(xo,y0,zo)有 x-xo y-Yo z-20 切线方程 IF.G) (F,G) TF,G) T(y,z) M (z,x) (x,y) M 法平面方程 TF,G) c-+5C T(y,z) Tz,x) (y-Yo) M T(F,G) (2-20)=0 (x,y) M HIGH EDUCATION PRESS 结

则在点 切线方程 法平面方程 有 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

法平面方程 (F,G) T(v,z) Mx·)+EG T(e,x) id (v-Yo) +,G) V,) Me-2o)=0 也可表为 x-xo y-yo z-20 Fx(M)Fy(M)F(M) =0 Gx(M)Gy(M)G(M) HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录上

也可表为 法平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点 M(1,-2,1)处的切线方程与法平面方程 解法1令F=x2+y2+z2,G=x+y+z,则 1(F,G) -2y2z =2(0y-z) =-6, T(,2)M11 M M 1(F,G) =0 1(F,G) =6 T(2,x) M T(x,y) M 切向量 7=(-6,0,6) ix+z-2=0 切线方程 即 6 y+2=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

例2. 求曲线 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法1 令 则 即 切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束