《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章_8-5空间曲面

第五节 第八章 曲面及其方程 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 HIGH EDUCATION PRESS DeOC①8 机动目录上页下页返回结束

四、二次曲面 第五节 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第八章

曲面研究的基本问题 F(x,y,a)=0 方程F(x,yz)=0表示曲面S 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时」 求曲面方程 (2)已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

F(x, y,z) = 0 S z y x o 方程 F( x, y, z ) = 0 表示曲面 S 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲面研究的基本问题

例1.求动点到定点M0(x0,0,z0)距离为R的轨迹 方程 解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意M,M=R 即 V(x-xo)2+(y-o)2+(e-0)2=R 故所求方程为 (x-x)2+(y-0)2+(:-20)2=R2 特别，当M在原点时，球面方程为 x2+y2+22=R2 z=±R2-x2-y2 表示上（下球面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M0 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.研究方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样 的曲面 解：配方得(x-1)2+(y+2)2+z2=S 此方程表示 球心为M(1,-2,0) 半径为√5的球面 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+z2)+Dx+Ey+Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形河可能是 一个球面，或点，或虚轨迹 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 研究方程 解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M 0 − 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、旋转曲面 定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转 周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转 轴。 例如： HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义2. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 母 线

建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 给定0面上曲线C:f(y,)=0 若点M1(0,1,)∈C,则有 fM,)=0 当绕z轴旋转时，该点转到 2≥M1(0,y1,21） M(x,y,),则有 M(x/y,) 2=2 x+y"=xl 故旋转曲面方程为 f(±x2+y2,)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, ( , ) 0 f y1 z1 = (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yoz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y, z) 1 z z = , 则有 ( , ) 0 2 2 f  x + y z = 则有 该点转到 f ( y,z) = 0 o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 1 x y y + =

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？ C:f(y,z)=0 f(y,±Vx2+z2)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f ( y,z) = 0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y  x + z = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程 解：在0z面上直线L的方程为 z=ycota 绕Z轴旋转时，圆锥面的方程为 M(0,y,z) z=±Vx2+y2cota 令a=cota 两边平方 2=a2(x2+y2) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 ( ) 2 2 2 2 z = a x + y x y z  两边平方 L M (0, y,z) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求坐标面xo2上的双曲线 x2 22 a?c2 =1分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解：绕x轴旋转所成曲面方程为 x2y2+2 绕：轴旋转所成曲面方程为 2+y =1 这两种曲面都叫做旋转双曲面！ HIGH EDUCATION PRESS 0△0C①8 机动目录上页下页返回结束

x y 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、柱面 引例.分析方程 x2+y2=R2 表示怎样的曲面 解在xoy面上，x2+y2=R2表示圆C 在圆C上任取一点M(x,y,O),过此点作 平行z轴的直线1，对任意z,点M(x,y,z) 的坐标也满足方程x2+y2=R2 沿曲线C平行于：轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面.其上所有点的坐标都满足此方程，故在空间 x2+y2=R2表示圆柱面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

x y 三、柱面 z 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 2 2 2 x + y = R 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 2 2 2 x + y = R 过此点作 柱面. 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 表示圆柱面 C o 在圆C上任取一点 ( , ,0), 1 M x y l M M1 点M (x, y,z) 其上所有点的坐标都满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束