《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8-6空间曲线

第之为 第八章 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 HIGH EDUCATION PRESS 返回结束

第八章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,z)☐0 G(xy,2)0 V,Z 7(x,y2☐0 例如，方程组 0y201 2x口3z口6 表示圆柱面与平面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 返回 结束

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如，方程组 tgyaan ax2口y2☐a.x□0 表示上半球面与圆柱面的交线C a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,y,表示成参数1的函数： x□x(t) y口y(t) 称它为空间曲线的 参数方程 z☐z(t） 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 x▣acos▣t z☐vt yasin▣ z▣bū 当口口2口时，上升高度h口2四b,称为螺距 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.将下列曲线化为参数方程表示： x2y201 0a2□x20y (2)子 2x☐3z☐6 x20y20ax00 解：(1)根据第一方程引入参数，得所求为 x☐cost y☐sint (0☐t▣2▣) z☐5(6☐2c0st) (2)将第二方程变形为(x☐)☐y2口， 故所求为 x口号cost y口sin t (0▣t口20) z0a,3☐4cost HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束

例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)▣0 G(x,y,z)☐0 消去z得投影柱面H(x,y)☐0， 则C在xoy面上的投影曲线C'为 H(x,y)☐0 2☐0 消去x得C在y0z面上的投影曲线方程 R(y,z)☐0 x口0 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 T(x,z)口0 y☐0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 下员 返回 结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如， x20y2☐z201 ve2 在xoy面上的投影曲线方程为 0x2D2y2☐2y■0 z0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如， 上半球面z☐√4口x2☐y2和锥面z·3(x2口y2) 所围的立体在xoy面上的投影区域为：二者交线在 xoy面上的投影曲线所围之域 二者交线 20/4□x2☐y2 c: 20V3(x2☐y2) 在xoy面上的投影曲线 z▣0 所围圆域：x2口y2口1，z口0. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 上页 下页 返回结束

又如, 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 ·空间曲线 一三元方程组 或参数方程（如，圆柱螺线） ·求投影曲线 思考与练习 P324题1,2,7（展示空间图形） HIGH EDUCATION PRESS 机动 、返▣结束

内容小结 • 空间曲线 三元方程组 或参数方程 • 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）

答案：P324 题1 c▣1 2V4☐x2y (1 (2) 2 y☐x☐0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页 返回 结

P324 题1 (2) (1) 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束