《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_第八章第三节 平面及其方程

第三为 第七章 平面及其方程 曲面方程与空间曲线方程的概念 平面的点法式方程 三、 平面的一般方程 四、两平面的夹角

第三节 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七章 一、曲面方程与空间曲线方程的概念

曲面方程与空间曲线方程的概念 引例：求到两定点4(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程 解：设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(0y+1)2+(z-4)2 化简得2x-6y+2z-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面！ 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 C8 下页返回结束

一、曲面方程与空间曲线方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x −1) + ( y − 2) + (z − 3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点为 M (x, y,z),则 AM = BM , 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.如果曲面S与方程Fx,y)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时 求曲面方程 (2) 已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图)

定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 G(x,y,2) 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C 下页返回结束

空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 1 S 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M,(x,y,)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MM⊥7元 故 MoM.n=0 M0M=(x-xy-%,2-20） A(x-x)+B(y-y0)+C(z-0)=0 称①式为平面的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量 例：P25例1

 z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M M ⊥n 0 0 M0M n = 则有 故 称 n 为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例：P25 例1

例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面的法向量为 i=MM2×MM3 M3 =-34 -6 -23-1 =(14,9,-1) 又M1∈Ⅱ，利用点法式得平面Ⅱ的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-2-15=0 下页返回结束

i j k = 例1.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

*说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+12-4 -3 4 -6=0 (三向量共面) -2 3 -1 一般情况：过三点Mk(xk,yk,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x y-y1 -21 x2-X1y2-122-1 =0 3-x1y3-y1 Z3-21

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 *说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （三向量共面）

*特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x+y+三-1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程， 分析：利用三点式 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc C8 下页返回结球

*特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c  0) (x − a)bc − y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+C:+D=0(A2+B2+C2≠0)② 任取一组满足上述方程的数x0,0,20,则 Ax0+By0+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-yo)+C(2-20)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 0 Ax0 + B y0 + C z0 + D = 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B + C  ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax+By+Cz+D=0(42+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面， ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥i,平面平行于x轴， ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面； ·Ax+By+D=0表示平行于：轴的平面， ·Cz+D=0表示平行于xoy面的平面， ·Ax+D=0表示平行于y0z面的平面； ·By+D=0表示平行于0x面的平面 8 下页返回结束

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By + Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B + C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束