《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第7节无穷小的比较

第一章 第七节 无穷小的比较 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一章 第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较

一、无穷小的比较 引例. x→0时，3x,x,sinx都是无穷小 =0, x→03x sin x lim x→0 sin x lim x-0 3x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例 x → 0 时, . 2 3 , , sin x x x 都是无穷小 x x x 3 lim 2 →0 = 0, x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 2 0 sin lim x x x→ =  , 一、无穷小的比较

定义.设《，阝是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1mP=0.则称B是比a高阶的无穷小，记作 B=o(a) 若1m=o,则称B是比a低阶的无穷小 x 若1im=C≠0，则称B是a的同阶无穷小 Q 说明：并非任意两个无穷小都可以进行比较 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 「下页返回结束

定义. lim = 0,  若  则称  是比  高阶的无穷小,  = o( ) lim = ,   若 若 lim = C  0,   设  ,  是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称  是比  低阶的无穷小; 则称  是  的同阶无穷小; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:并非任意两个无穷小都可以进行比较

定义.设α，阝是自变量同一变化过程中的无穷小 若m号=C0,则麻是关于的k阶无脉 若1mP=1,则称B是a的等价无穷小，记作a~B 或阝~a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

lim = C  0, k   定义. 若 lim =1,   若  ~   ~  或 设  ,  是自变量同一变化过程中的无穷小, 则称  是关于  的 k 阶无穷小; 则称  是  的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

常用等价无穷小：当x→0时， sinxx, tanx~x, arcsinx~x, 1-c0sx~2x2 ln(1+x)~x, 1+x-1~7x e-1~x, HIGH EDUCATION PRESS 第八节目录 上页下页返回结束

～ ～ ～ ～ ～ 常用等价无穷小 : 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 ～ ～

例1.证明当x→0时，1+x-1~n入 证： 1im1+x-1 x→>0 1x n a”-b”=(a-b)(a"-1+am-2b+.+bm-1） (1+x”-1 lim x→>0 7x[(1+xy-1+(1+xy-2+.+1] =1 当x→0时，1+x-1~1x n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a − b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n  b 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理.a~ 3.=阝=a+o(a） 证：a心阝lim 1m(2-1)=0,即lmB-=0 a .三阝-a=o(a),即阝=C+o(a) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

～ ～ 定理.  =  + o( ) 证: lim =1   lim( −1) = 0,   lim = 0 −    即  − = o( ), 即  =  + o( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理，设a~a,Bg,且1im月 存在，则 lim B =lim a 证： lim lim a' 一三1m HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 . 设 且 存在 , 则   lim 证:   lim        =   lim          = lim     lim   lim     = lim 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：设对同一变化过程，α，B为无穷小，由等价 无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则 (I)和差取大规则：若B=o(a),则a士B~a 例如， lim sinx =lim x =1 x0x3+3x03x3 (2) 和差代替规则：若a~a,阝~B'且B与a不等价， 则a-B-a-p.且1ime-P=1im '-B' 但α~B时此结论未必成立 例如，lim tan 2x-sinx lim 2x-x 2 x→0 1+x-1 x->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 设对同一变化过程 ,  ,  为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若  = o() , (2) 和差代替规则: 若 ~  ,  ~ 且  与 不等价, 则 −  ~  −  , 例如, x x x x 3 sin lim 3 →0 + x x x 3 lim →0 = 3 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则   ~  lim lim ,        −  = − 且 但 ~  时此结论未必成立. 例如, 1 1 tan 2 sin lim 0 + − − → x x x x x x x x 2 1 0 2 lim − = → = 2

(3)因式代替规则：若~阝，且o(x)极限存在或有 界，则 lim ao(x)=lim Bo(x) 例如， lim arcsinx.sin=lim x.sin=0 x>0 Xx-→0 例1.求lim tan x-sin x x→0 x3 解： 原式=lim tan x(1-cosx) x→0 x3 lim x→0 3 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(3) 因式代替规则: 若 ~  , 且(x) 极限存在或有 界, 则 lim (x) = lim (x) 例如, . tan sin lim 3 0 x x x x − → 3 0 lim x x x x − = → 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 2 1 0 lim x x x x  = → 例1. 求 0 1 lim sin 1 lim arcsin sin 0 0  =  = → → x x x x x x 解: 原式