《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第8节函数的连续性与间断点

第一章 第、为 画数的连续性与间浙点 连续的定义 二、 函数的间断点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 函数的间断点 一、 连续的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章

一、 函数连续的定义 定义：设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，且 1imf(x)=f(xo),则称函数f(x)在x。连续 可见，函数f(x)在点x,连续必须具备下列条件： (1)f(x)在点xo有定义，即f(x)存在； (2) 极限limf(x)存在， x→x0 (3) lim f(x)=f(xo). x→x0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在 x0 连 续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

函数f(x)在点x,连续有下列等价命题 limf(x)=f(xo） x→X0 o+Ax)=f(a) lim.△y=0 f(x,)=f(x,)=f(x,) 左连续 右连续 8>0,6>0,当x-x,=AxK6时有 f(x)-f(x=△ykε HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x +  =  → lim 0 0  =  → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续    0 ,    0 , 当 x − x =  x   0 时, 有 f ( x ) − f ( x ) =  y   0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数. continue 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b]: 例如，P(x)=a0+a4x+.+anx” (有理整函数) 在(-0，+o0)上连续 又如，有理分式函数R(x)= P(x) 2(x) 在其定义域内连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C [ a , b ]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明函数y=sinx在(-o,+o)内连续 证：Vx∈(-0，+o) Ay=sin(x+Ax)-sin x =2sin cos(x+) Ay =2sincos(x+) ≤21=4x Ax→00 即 lim△y=0 △x>0 这说明y=sinx在(-o,+o)内连续 同样可证：函数y=cosx在(-0，+∞)内连续 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 证明函数 在 内连续 . 证: x  (−  , +  )  y = sin( x +  x ) − sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x    = + = x  x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f(x)= xsin-,x≠0 讨论在x=0处连续性 0, X=0 1)求x→1时， 0<x<1 f(x)的左极限和右极限 1 f(x)= ,x=1 2)f(x)在x=1处连续吗？ 1,1<x<2 3)求f(x)的连续区间 HIGH EDUCATION PRESS

, 0 1 1 ( ) , 1 2 1, 1 2 x x f x x x      = =       的左极限和右极限 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x    =    = 讨论在 x=0 处连续性

讨论画数r风=长±20 求a,b的值 HIGH EDUCATION PRESS

二、 函数的间断点 设f(x)在点x,的某去心邻域内有定义，则下列情形 之一函数f(x)在点x,不连续 (1)函数f(x)在x,无定义； (2)函数f(x)在x,虽有定义，但1imf(x)不存在 x→x0 (3)函数f(x)在x,虽有定义，且1imf(x)存在，但 x→X0 limf(x)≠f(xo) x→X0 这样的点x。称为间断点 HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x  → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

间断点分类： 第一类间断点： f(x。)及f(x,)均存在， 若f(x,)=f(x,),称x为可去间断点 若f(x,)≠f(x,),称x,为跳跃间断点 第二类间断点： f(x,)及f(x,)中至少一个不存在 无穷间断点 振荡间断点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 x0 若 称 x0 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 无穷间断点 振荡间断点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2√x,0≤x1 在x=1处间断，判断其类型： x-1,x0 在x=0处间断，判断其类型 HIGH EDUCATION PRESS