《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第10节闭区间上连续函数的性质

第一章 第十节 闭区间上连续温数的性质 最值定理 二、介值定理 客HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

第十节 一、最值定理 二、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章

一、闭区间上连续函数的性质 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大 值和最小值， yy=f(x) 即：设f(x)eC[a,b], 则351,52∈[a,b]； 0a5152bx 使f(5i)=minf(x) f(52)=max f(x) a≤x≤b a≤x≤b 注意：若函数在开区间上连续， 或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、闭区间上连续函数的性质 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f ( x )  C [ a , b ] , o x y a b y = f ( x ) 1  2 则 , [ , ] , 1 2     a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a  x  b  = ( ) max ( ) 2 f f x a  x  b  = 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 -x+1,0≤x<1 f(x)= 1，x=1 -x+3,1<x≤2 也无最大值和最小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结束

例 无最大值和最小值 o x y 1 1 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 例 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论.在闭区间上连续的函数在该区间上有界 证：设f(x)∈C[a,b], V= M 由定理1可知有 m 0a5152bx M=max f(x),m=min f(x) xe[a,b] xela,b] 故x∈[a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

o b x y a y = f ( x ) 1  2 m M 推论. 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 证: 设 上有界 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界

二、介值定理 定理，（零点定理 f(x)∈C[a,b],且f(a)f(b)<0 至少有一点5∈(a,b),使f(5)=0. y=f(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 上页下页返回结束

定理. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 x y o a b y = f ( x )  机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理

定理.（介值定理）设f(x)eC[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f()=C. y f(x) 证：作辅助函数 o(x)=f(x)-C 则o(x)eC[a,b],且 b p(a)p(b)=(A-C)(B-C)<0 故由零点定理知，至少有一点5∈(a,b), 使0(5)=0， 即f(5)=C, HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

定理. ( 介值定理 ) 设 f ( x )  C [ a , b ] , 且 f (a ) = A , f (b ) = B , A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数  ( x ) = f ( x ) − C 则  ( x )  C [ a , b ] , 且   ( ) ( ) a b = ( A − C ) (B − C ) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 A o b x y a y = f ( x ) B C  使 至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论 在闭区间上的连续函数 y- y=f(x) 必取得介于最小值与最大值 之间的任意值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 页下页返回结束

推论. m o b x y a y = f ( x) M C  在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值 之间的任意值 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1eC0,1],又 f(0)=1>0,f(1)=-20， 则(2,1)内必有方程的根 取，1]的中点x=,f()<0, 则(，)内必有方程的根；.可用此法求近似根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: , 2 1 x = ( ) 0, 8 1 2 1 f =  ( ,1) 内必有方程的根 ; 2 1 取 的中点 , 4 3 x = ( ) 0, 4 3 f  ( , ) 内必有方程的根 ; 4 3 2 1  可用此法求近似根. 二分法 4 3 2 0 1 1 x + − + − 在区间 内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则

例.证明方程x3-3x2-x+3=0 在区间(-2,0)，(0,2)，(2,4)内各有一个根 例. 证明函数f(x)=e-x-2 在区间(0,2)内至少存在一个零点x HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

例. 证明方程 在区间 内各有一个根 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 证明函数 在区间 内至少存在一个零点