《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章课件_第六章第三节定积分在物理学上的应用

第三为 第六章 定积分在物理学上的应用 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量（补充） HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

第三节 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理学上的应用 第六章

一、变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=a移动到 x=b,力的方向与运动方向平行，求变力所做的功 在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元 素为 dw=F(x)dx xx+dx bx 因此变力Fx)在区间[a,b]上所作的功为 w=["F(x)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x x + d x b x 在其上所作的功元 素为 dW = F(x)dx 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为  = b a W F(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.在一个带+q电荷所产生的电场作用下，一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b), 求电场力所作的功 解：当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为 F=k 1 2 F c 则功的元素为dW= rr+dr h 所求功为 dr-kad-ka(a- 说明.电场在r=a处的电势为∫gdr HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

例1. 一个单 求电场力所作的功 . + q o a b r r r + dr +1 +1 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 r r kq dW d 2 = 所求功为       = − r kq 1 a b ) 1 1 ( a b = kq − 说明: a k q = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下

例2.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气 体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从 点α处移动到点b处如图)，求移动过程中气体压力所 作的功 解：建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强 kk p与体积V成反比，即P= rs' 故作用在活塞上的 力为 F=p.S= 功元素为 dW=Fdx=dx o axx+dx b x 所求功为 W=∫kdx=klnx]g=k1n8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

S 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 o x 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . a b 建立坐标系如图. xx + dx 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气

例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？ 解：建立坐标系如图.在任一小区间 [x,x+dx]上的一薄层水的重力为 g:pπ32dx(KN 这薄层水吸出桶外所作的功功元素)为 dW=9πgpxd 故所求功为 X W=∫9 rgpxdx=9rgp 5 设水的密 2 度为p =112.5πgp(KJ HIGH EDUCATION PRESS 机动目 绿上页下页返回结束

例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. o x 3m x x + d x 5m 在任一小区间 [x , x + dx] 上的一薄层水的重力为 g  3 dx 2   这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 dW= 9g  x dx 故所求功为  = 5 0 W 9 g x d x = 9 g  2 2 x = 112.5 g  ( KJ ) 设水的密 度为  机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 5 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m

二、液体侧压力 设液体密度为p 深为h处的压强p=gph 当平板与水面平行时， 平板一侧所受的压力为 P=pA •当平板不与水面平行时 面积为A的平板 所受侧压力问题就需用积分解决 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

面积为 A 的平板 二、液体侧压力 设液体密度为  深为 h 处的压强: p = g  h 当平板与水面平行时, h P = p A 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为 • •

例4.一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为 p的液体，求桶的一个端面所受的侧压力. 解：建立坐标系如图.所论半圆的 方程为 y=士VR2-x2 (0≤x≤R) 利用对称性，侧压力元素 dP=28PxR2-x2 dx x+dx 端面所受侧压力为 P=[2gpxvR2-x dx=282R 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 绿上页下页返回结束

小窄条上各点的压强 p  g  x 3 3 2g R  = 例4.  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 (0  x  R) 利用对称性 , 侧压力元素  = R P 0 2g x R x dx 2 2  − o x y R x x + d x 2 2 dP = 2 g  x R − x 端面所受侧压力为 dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为

说明：当桶内充满液体时，小窄条上的压强为gP(R+x) 侧压力元素dP=2gp(R+x人/R2-x2dx 故端面所受侧压力为 P=[2g p(R+x)R2-x2dx 奇函数 +dx -4Rgpl vR2-x2 dx 令x=Rsint(P350公式67) 4彩p[5R-+号on月6 =πgpR3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

  0 arcsin 2 2 4 g 2 2 2 R R R x R x x = R  − + 2 d , 2 2 R − x x 说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为 g  (R + x), 侧压力元素 dP = 故端面所受侧压力为 奇函数 3 =  g  R g  (R + x)  = − R R R x x 0 2 2 4 g  d 令 x = Rsin t ( P350 公式67 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y R x x + d x

三、引力问题 质量分别为m1,m2的质点，相距r, 二者间的引力 m1m2 大小：F=k” 方向：沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , m1 m2 r 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.设有一长度为1，线密度为的均匀细直棒，在 其中垂线上距α单位处有一质量为m的质点M,试计算 该棒对质点的引力 解：建立坐标系如图.细棒上小段 [x,x+dx]对质点的引力大小为 dF=k mu dx a2+x2 故垂直分力元素为 dFy=-dF cos a =-k mu dx a2+x2 va2+x2 =-kmua (a2+x2)月 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, M 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. y 2 l 2 l − [x , x + dx] 细棒上小段 对质点的引力大小为 d F = k m dx 2 2 a + x 故垂直分力元素为 d Fy = −dF cos a  + = − 2 2 d a x m x k  2 2 a x a + 2 3 ( ) d 2 2 a x x km a + = −  a o x x  机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 试计算 d F Fx d Fy d x + d x