《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_D9_1基本概念

第九 多无高教散分法 及其定用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意：善于类比，区别异同

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用

第一节 第九章 一、 区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 结

第一节 第九章 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念

区域 1.邻域 点集U(P,δ)☐PPP。□δ称为点Po的日邻域. 例如，在平面上， U(,δ)☐x,y)V(x口x)2口y口yO)2□δ[（圆邻域》 在空间中， U(B,□)☐Ck,y,z)N(x口x)2☐y0yo)2☐z☐zo)2☐8 (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径·，也可写成(P) 点P。的去心邻域记为U(P)口P0□PP☐δ[ HIGH EDUCATION PRESS

一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的￾ 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径￾ ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 平面上的方邻域为 U(B,δ)口(x,y)x口xo☐δ，y口yo☐δ[ HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.区域 ()内点、外点、边界点 设有点集E及一点P: ▣若存在点P的某邻域乙UP)E ,则称P为E的内点； 口若存在点P的某邻域乙U(P)∩E=口 则称P为E的外点 口若对点P的任一邻域(P)既含E中的内点也含E 的外点，则称P为E的边界点 显然，E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E HIGH EDUCATION PRESS 凯动

2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ￾ 若存在点 P 的某邻域 U(P)￾ E , ￾ 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ￾ , ￾ 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E

(2)聚点 若对任意给定的口点P的去心 邻域U(P,δ)内总有E中的点，则 称P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为 E的边界点) 所有聚点所成的点集成为E的导集 例如E HIGH EDUCATION PRESS

(2) 聚点 若对任意给定的￾ , 点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 ) 例如 E=

(3)开区域及闭区域 口若点集E的点都是内点，则称E为开集： 口E的边界点的全体称为E的边界，记作口E 口若点集E口口E,则称E为闭集： ☐若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 则称D是连通的； 口连通的开集称为开区域，简称区域 开区域连同它的边界一起称为闭区域 HIGH EDUCATION PRESS

D (3) 开区域及闭区域 ￾ 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ￾ 若点集 E ￾￾ E , 则称 E 为闭集； ￾ 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ￾ 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ￾ 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 ￾ E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作￾ E ;

例如，在平面上 口(x,y)x口y■0[ 开区域 口x,y)1口x2口y2口4 口(x,y)x回y▣0 闭区域 口(x,y)1☐x2☐y2☐4 2x HIGH EDUCATION PRESS

例如，在平面上 开区域 闭区域 ￾ ￾ ￾ ￾ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

整个平是最大的开域， 面也是最大的闭域： 点集(x,y)川x口1[是开集， 但非区域 口对区域D,若存在正数K,使一切点P口D与某定 点 A的距离口AP口口则称D为有界域，否则称为无 泉域。 HIGH EDUCATION PRESS

￾ 整个平 面 ￾ 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o ￾ 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P￾ D 与某定 点 A 的距离 ￾ AP￾￾ K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无

二、多元函数的概念 引例： 圆柱体的体积 V☐0r2h,r,h)r☐0，ha0[ ▣定量理想气体的压强 RT (R为常数)，☑V,T)V□0，T☐I 三布形面的海伦公式(7) 2 S☐/p(p□a(p☐b)(p□c) a,b,c)a□0，b□0，c☐0，a☐b□c[ HIGH EDUCATION PRESS 结

二、多元函数的概念 引例: ￾ 圆柱体的体积 ￾ 定量理想气体的压强 ￾ 三角形面积的海伦公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束