《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8-4空间直线

第四节 第八章 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结球

第四节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第八章

一、空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 A1x☐By☐C1z☐D1□0 42x0B2y☐C2z0D2☐0 (不唯一) HIGH EDUCATION PRESS 回结球

一、空间直线方程 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.对称式方程（点向式方程） 已知直线上一点M(x0,y0,20)和它的方向向量 3口(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z) 则 MoMllS M(x,y,2) 故有 z□20 m n M(x0y0,20） 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程） 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m口n口0，p☐0时，直线方程为 y回yo HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结

2. 对称式方程（点向式方程） 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.参数式方程 设 x口0y□0口2☐20口( m 之 p 得参数式方程 x口xo ☐mt yyo□n z□z0□p1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用对称式及参数式表示直线 x□y口z☐1▣0 2x0y03z0400 解：先在直线上找一点， 令x=1,解方程组 y3z6,得y00,z02 故(1,0，口2)是直线上一点 再求直线的方向向量. 交已知直线的两平面的法向量为 1☐1,1,1)，□2，☐1,3) 口3o,3on2口so元☐购 HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页 返回结束

例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

i方 sn On, ☐111 □(4，☐1，☐3) 213 x1 故所给直线的对称式方程为 ☐3 口4t 参数式方程为 :口23 解题思路：先找直线上一点： 再找直线的方向向量， HIGH EDUCATION PRESS 返回结束

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L,L,的方向向量分别为 ☐(m,n,p),S2☐(m2,n2,p2) 则两直线夹角口满足 S1 S2 mm2☐nn2☐pp2 2 2m2p2Vm22■n22p2 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结

二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角 ￾ 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别有： ()口L2=>S03匀 ◇> m1m2☐n1n2□p1p2☐0 (2)L11L2→S/s2 1口P1 m2 n2 P2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上项

特别有: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求以下两直线的夹角 x0y02口0 L2日x02z0 解：直线L的方向向量为S☐1，口4,1) i方 直线L2的方向向量为s,口110 ☐(2，☐2，☐1) 102 二直线夹角口的余弦为 1☐2▣(4)☐(2)☐1■（▣1） coS□ V12☐(C4)2☐1222☐(2)2口(1)2 2 从而 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角￾ 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角口称为直线与平面间的夹角； 当直线与平面垂直时，规定其夹角 72 设直线L的方向向量为3口(m,n,p) 平面口的法向量为n口(A,B,C) 则直线与平面夹角口满足 sin☐☐cos(s,n Am☐Bn□Cp Vm2n2p2VA2☐B2☐C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 返回结束

当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角￾ 称为直线与平面间的夹角; ￾ 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 ￾ 的法向量为 则直线与平面夹角 ￾ 满足 直线和它在平面上的投影直 ︿ 机动 目录 上页 下页 返回 结束