《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第9节连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节 第一章 连续盈数的运算与 初等益数的连续性 连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章

一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积， 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 例 Sinx,c0sx在(-o,十o)内连续 sin x cos x tan x= cotx= cos x sin x 1 1 sec x csc x cos x sin x 在其定义域内都是连续的 HIGH EDUCATION PRESS 动目影 下页返回结束

定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则 在其定义域内都是连续的

定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增 y=sinx在[-牙，及]上连续单调递增 y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增 y=tanx在(-受，号)上连续单调递增 y=arc tanx在(-oo,+oo)上也连续单调递增 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增 y = sin x 在 上连续单调递增 y = arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x = tan 在 上也连续单调递增. 在 上连续单调递增 y x = arc tan

定理.连续函数的复合函数是连续的 设复合函数f[(x)] 4=(x)在点x连续，且(xo)=40 y=f(x)在点u,连续，即1imf(u)=f(uo) 于是 u→40 1imf[o(x]=fimo(x)]=fl(xo月=f(4o） HIGH EDUCATION PRESS 「下页返回结球

定理. 连续函数的复合函数是连续的. ( ) . 0 0  x = u 于是 [ ( )] 0 = f  x 设复合函数 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理.设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数 y=f(u)复合而成，y=f[g(x)]在点xo的某去心邻域 内有定义，U()cDgU()cDg 若1img(x)=听f()在u=4o连续 lim f[g(x)]=lim f(u)=f(u) x→X0 n->uo 即 lim f[g(x)]=f[lim g(x)] x→x0 >X0 HIGH EDUCATION PRESS

定理. 设函数y=f [g(x)]是由函数u=g(x)与函数 y=f (u)复合而成，y=f [g(x)]在点 x0 的某去心邻域 内有定义， 若 lim ( ， ) y= 0 f (u)在u=u0连续 0 g x u x x = → 0 0 0 lim [ ( )] lim ( ) ( ) x x u u f g x f u f u → → = = 0 0 lim [ ( )] [ lim ( )] x x x x f g x f g x → → = 则 即

X-3 例 求 lim X→3 r2 -q X一 x-3 y= x2- 可看做由y=√元与u= 复合而成： 9 x2- 9 x-3 x-3 1 lim x3x2-9 lim lim x3(x+3)(x-3) x→3X十3 6 X-3 -3 6 y=V在处连续，· lim- x3x2-9 x→3x2-9 第清州层信C:e兴PRESS

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 例

例讨论函数y=sin的连续性 1 解 y=sin可看作y=sinu与u=-复合而成 u=二在(-∞，0)U(0,+∞)内连续 y=sinu在(-∞，十∞)内连续， y=sim-在(-∞，0)U(0,+∞)内连续 HH二福LC:CN PRESS

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 例 解

二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如， y=√1-x2的连续区间为[-1,1]端点为单侧连续 y=Insinx的连续区间为(2nm,(2n+1）z),n∈Z 而y= cosx-1 E 的定义域为x=2nπ，n∈Z 因此它无连续点 HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页返回结束

二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y = lnsin x 的连续区间为 y = cos x −1 的定义域为 因此它无连续点 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.求lim loga(1+x) x→0 x 解：原式=1 imlog0+x)=l1og。e=na x->0 例.求 ax-1 x→0 X 解：令t=a-1,则x=loga(1+), 原式=lim =Ina 1→0loga(1+t) 说明：当a=e,x→0时，有 In(1+x)~x ex-1~x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 求 解: 原式 例. 求 解: 令 = −1, x t a 则 x log (1 t), = a + 原式 log (1 ) lim 0 t t a t + = → 说明: 当 时, 有 ln(1+ x) ~ −1 ~ x x e x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 求lim (1+x)-1 =a(a∈R) X-→0 X 解 令(1+x)0-1=t, 则当x→0时，t→0 于是原式=lim (1+x)2-1ln(1+x) x→0 aln(1+x) t aln(1+x) =9na+) =C. 当x→0时，有(1十x)-1~ax. 第精H二C:C州PRESS

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 函数与极限 例 解