《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章——第3节函数的极限

第一章 第三节温数的极限 一、 自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 三 函数极限的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限 第三节 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 三、函数极限的性质

一、自变量趋于有限值时函数的极限 1.x→x时函数极限的定义 引例.测量正方形面积（真值边长为o;面积为A) 直接观测值 确定直接观测值精度δ： 边长x x-x0Kδ 介 间接观测值 任给精度6，要求x2-A<6 面积x2 A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 面积为A ) 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度  , 要求 x − A   2 确定直接观测值精度  : x − x0   0 A x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义2.设函数f(x)在点x,的某去心邻域内有定义， 若Ve>0,38>0,当00,3δ>0，当x∈U(xo,δ) x→x0 时，有f(x)-A< 几何解释： ↑y 1+E yf(x） A -8 x0-δX0x0+δx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义2 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,   0,   0, 当  −   0 0 x x 时, 有 f (x) − A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: +  0 x A +  A −  A x0 x y y = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明limC=C(C为常数) x→x0 证： |f(x)-A=C-C=0 故V6>0,对任意的8>0，当0<x-x<6时， 总有 C-C=0<8 因此 lim C=C x→x0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 证明 证: f (x) − A 故   0, 对任意的   0, 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明 lim(2x-1)=1 x1】 证：f(x)-A=(2x-1)-1=2x-1 V8>0,欲使f(x)-A<8,只要 x-1<2 取8=，则当0<x-1<6时，必有 f(x)-A=(2x-1)-1<8 因此 lim(2x-1)=1 x→1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 证明 证: = 2 x −1   0, 欲使 取 , 2   = 则当 0  x −1   时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例证明 lim x2-1 =2 →1x-1 证：f(x)-A= = x+1-2=x-1 故V>0,取δ=6，当0<x-1<8时，必有 312 x-1 x2 - 因此 lim 1=2 x-→1x-1 HIGH EDUCATION PRESS D色OC®8 机动目录上页下页返回结束

例. 证明 证: f (x) − A 故   0, 取  =  , 当 时 , 必有 −   − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.左极限与右极限 左极限：f(xo)=limf(x)=A x→x0 三V8>0,38>0,当x∈(x-δ，x) 时，有f(x)-A0,38>0,当x∈(x0,x0+δ) 时，有f(x)-A<6. 定理3. lim f(x)=A lim f()=lim f()=4 x-→X0 x→x0 x→X0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 左极限与右极限 左极限 : = − ( ) 0 f x f x A x x = → − lim ( ) 0   0,   0, 当 ( , ) 0 0 x  x −  x 时, 有 右极限 : = + ( ) 0 f x f x A x x = → + lim ( ) 0   0,   0, 当 ( , ) 0 0 x  x x +  时, 有 定理 3 . f x A x x = → lim ( ) 0 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.设函数 y=2x-1 x≤1 f(x)= 2x-1,x>1 y=x 讨论x→1时f(x)的极限是否存在 解： lim f(x)=limx =1 x-> x->1- 1im/x)=m（(2x-l小=1 显然f)=fI),所以limf(x)=1 1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 设函数 , 1 ( ) 2 1, 1 x x f x x x   =   −  讨论 x →1 时 f (x) 的极限是否存在 . 解: 1 lim ( ) x f x → − 1 lim x x → − = =1 1 lim ( ) x f x → + ( ) 1 lim 2 1 x x → + = − =1 显然 f f (1 ) (1 ) , − + = 所以 1 lim ( ) 1 x f x → = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o y x = 1 y x = − 2 1

例.设函数 x+ x-1 x0 y=x- 讨论x→0时f(x)的极限是否存在 解：limf(x)=lim(x-1)=-1 x→0 x→0 lim f(x)=lim (x+1)=1 x→0 x-→0 显然f(0)≠f(0*),所以1imf(x)不存在 X>0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 设函数     +  = −  = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x x x f x 讨论 x → 0 时 f (x) 的极限是否存在 . x y o −1 y = x −1 1 y = x +1 解: lim ( ) 0 f x x→ − lim ( 1) 0 = − → − x x = −1 lim ( ) 0 f x x→ + lim ( 1) 0 = + → + x x =1 显然 (0 ) (0 ) , − + f  f 所以 lim ( ) 0 f x x→ 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.设函数 2x x1 讨论x→1时f(x)的极限是否存在 解：limf(x)=l1im2x=2 x→1 x→1 m/闭=mx=1 x->1 显然f1)≠f1),所以1imf(x)不存在 1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 设函数 2 2 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 x x f x x x x    = =     讨论 x →1 时 f (x) 的极限是否存在 . 解: 1 lim ( ) x f x → − 1 lim 2 x x → − = = 2 1 lim ( ) x f x → + 2 1 lim x x → + = =1 显然 f f (1 ) (1 ) , − +  所以 1 lim ( ) x f x → 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束