《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_第二节 可分离变量微分方程

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可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 第七章

一、 可分离变量方程 =f) dx M(x)M2(y)dx+N(x)N2(y)dy=0 转化 g(y)dy=f(x)dx HIGH EDUCATION PRESS

转化 g ( y) d y = f ( x) dx 一、可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = ( ) d ( ) 0 M 1 x M 2 ( y) x + N 1 x N2 ( y) d y =

一、可分离变量方程 g(y)dy=f(x)dx ① 两边积分，得 ∫gy)dy=jf(x)dx G(y) F(x) 则有 G(y)=F(x)+C ② 称②为方程①的隐式通解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、可分离变量方程 g ( y) d y = f ( x) dx 两边积分, 得 f (x) dx  = ① 则有 ② 称②为方程①的隐式通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求微分方程 d少=3x2y的通解 解：分离变量得 y 3x2 dx 说明：在求解过程中 y 每一步不一定是同解 两边税粉-j 变形，因此可能增、 减解 得 In y =x3+C 或 即 y=te'+G=±e9e In y=x3+In C 令C=±eCI y=Cex (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x + C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令 C =  e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

xydx (x2+1)dy=0 例2.解初值问题 y(0)=1 解：分离变量得 X 1+r2 两边积分得lny=ln 2 +1n C 即 yx2+1=C(C为任意常数) 由初始条件得C=1 故所求特解为y√x2+1=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 x y x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得 C = 1 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) = 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量M成正比，已知t=0时铀的含量为Mo,求在 衰变过程中铀含量M(1)随时间t的变化规律 dM 解：根据题意，有 dt =-人M(2>0) M,=o=M。(初始条件) 对方程分离变年，然后积阶」y-j-2)d: 得lnM=-λt+lnC,即M=Ce1 ↑M 利用初始条件，得C=Mo Mo 故所求铀的变化规律为M=Moe4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 ( 0) d d = − M   t M M t=0 = M0 (初始条件) 对方程分离变量, 得 ln M = − t + lnC, 即 t M C e − = 利用初始条件, 得 C = M0 故所求铀的变化规律为 . 0 t M M e − = M M0 t o 然后积分:   已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0，求 降落伞下落速度与时间的函数关系 解：根据牛顿第二定律列方程m =mg -ky 初始条件为，=0=0 程分阅安显然后积合小心小 得 -是n(mg-k)-+C(此处mg->0) m 利用初始条件，得C=-ln(mg) 代入上式后化简，得特解v= mg(1-e m HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 = t v m d d 0 初始条件为 v t=0 = 对方程分离变量, 然后积分   : 得 (此处 mg − kv  0) 利用初始条件, 得 ln ( ) 1 mg k C = − 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 ) t m k e k m g v − = − mg − kv 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习：求方程 dy =ex+y的通解， dx 解分离变量 e dy=ex dx e =ex+C - 即 (ex+C)e'+1=0 例.已知曲线上点Px,y)处的法线与x轴交点为Q 且线段PO被y轴平分，求所满足的微分方程 yy'+2x=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

练习: 解 分离变量 e e C y x − = + − 即 ( + ) +1 = 0 x y e C e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程 . 例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q y y  + 2 x = 0 且线段 PQ 被 y 轴平分