《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章课件_第七节 常系数齐次线性微分方程

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常系数齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节 第七章

二、二阶线性微分方程 y”+p(x)y'+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 f(x)≡0时，称为齐次方程 f(x)丰0时，称为非齐次方程， 复习：一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x) 通解y=Ce-Px+eP)a0(x)edx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

为二阶线性微分方程. y  + p( x) y  + q( x) y = f ( x), 时, 称为非齐次方程 ; f ( x)  0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y  + P( x) y = Q( x) 通解:    − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( ) d ( ) d  − = P x x y C e ( ) d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解  y f ( x)  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的解 y”+py'+qy=0(p,q为常数) 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子 所以令①的解为y=ex(r为待定常数)，代入①得 (r2+pr+q)e"x=0 >r2+pr+9=0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

二阶常系数齐次线性微分方程的解 r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r p r q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

y”+py'+9y=0(p,q为常数) 令y=e'x (r2+pr+g)e"x=0r2+pr+q=0 1.当p2-4q>0时◆有两个相异实根1,2， 微分方程有两个线性无关的特解=e1x,y2=ex, 因此微分方程的通解为 y=C1enx+C2ex HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

r x y = e ( ) 0 2 + + = r x r p r q e 0 2 r + pr + q = 1. 当 4 0 2 p − q  时, 有两个相异实根 微分方程有两个线性无关的特解: 因此微分方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令

r2+pr+q=0* 2.当p2-4q=0时，幸有两个相等实根1=乃=号 微分方程有一个特解，=e1x. 设另一特解y2=y4(x)=exu(x)(u(x)待定 代入方程y+Py+9y=0得 è[(aw”+2r+r2a)+p(u'+ru)+9u]=0 u”+(21+p)u'+(+pn+q)u=0 注意h是的重根 u”=0取u=x,则得y2=xe1x 因此原方程的通解为y=(C1+C2x)e1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 当 4 0 2 p − q = 时, 有两个相等实根 微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程 [ 1 r x e ( ) 1 ( 2 ) + p u  + r u + q u  = 0 2 1 1 u  + r u  + r u 是 的重根 u  = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( 2 ) ( ) 0 1 2 u  + r1 + p u  + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 r + pr + q = 得

r2+pr+q=0◆ 3.p2-4g<0有一对共轭复根1=0+ip,2=a-iB 微分方程有两个复数解 yet)x =es(cosBx+isin Bx) y2=e(a-iB)x=eax(cosBx-isin Bx) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解 yI=7(y+y2)=eax cosBx 万=0-2)=esin Bx 因此原方程的通解为 y=ex(C]cos Bx+C2 sin B x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 4 0 2 p − q  有一对共轭复根 微分方程有两个复数解: i x y e ( ) 1  +  = e (cos x i sin x ) x    = + i x y e ( ) 2  −  = e (cos x i sin x ) x    = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x   = cos e x x   = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 r + pr + q =

小结： y”+py'+qy=0(p,q为常数) 特征方程r2+pr+q=0,特征根：1，乃 特征根 通 解 1≠？实根 y Cie *Ce"2* 1=乃=-号 y=(C1 +C2x)e"* 1,2=Q±i阝 y=e*(CI cos Bx+C2sin Bx) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

小结: y  + p y  + q y = 0 ( p, q为常数) 0 , 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 特 征 根 通 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求方程y”-2y'-3y=0的通解 解：特征方程r2-2r-3=0,(r+1(r-3)=0 特征根：1=-1,2=3， 因此原方程的通解为 y=Cle x+C2e3x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求方程 y  − 2 y  − 3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 2 3 0, 2 r − r − = 特征根: 1 , 3 , r1 = − r2 = 因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (r r + − = 1 3 0 )( )

ds +S=0 例2.求解初值问题 dt ds S1=0= =-2 dtt=0 解：特征方程r2+2r+1=0 有重根=r2=-1, 因此原方程的通解为s=(C,+C2t)e《 利用初始条件得C1=4,C2=2 于是所求初值问题的解为s=(4+2t)e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 + + s = t s t s 4 , s t =0 = 2 d 0 d = − t t = s 解: 特征方程 2 1 0 2 r + r + = 有重根 1 , r1 = r2 = − 因此原方程的通解为 t s C C t e − = ( + ) 1 2 利用初始条件得 4, C1 = 于是所求初值问题的解为 2 C2 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求方程y”+2y'+5y=0的通解 解：特征方程 r2+2r+5=0 特征根 1,2=-1±2i, 因此原方程的通解为 y=e *(C cos2x+C,sin 2x) y=e*(C cosBx+C2 sin Bx) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y y y   + + = 2 5 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.求方程 的通解. 特征根: 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x y e C x C x − = + 2 解：特征方程 r r + + = 2 5 0 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = +