《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第二章 行列式 2-5 矩阵的秩

线性代数第五节矩阵的秩矩阵可以简洁且统一表示形式如定量地刻画矩阵所表示的信息？千变万化的数据矩阵的秩是刻画矩阵所表示信息的一个重要数值特征文本图像视频......科技发展日新月异，但线性代数的经典概念和思维永远不会过时，只是在新工科背景下又有新的理解和阐释。掌握线性代数的概念和思维，就能以不变应万变解决新工科背景下层出不穷的新问题首意教育生政社新时代大学数学票列教材

新时代大学数学系列教材 线性代数 第五节 矩阵的秩 矩阵可以简洁且统一表示形式 如何定量地刻画矩阵所表示的信息？ 千变万化的数据 文本 图像 视频 . 矩阵的秩是刻画矩阵所表示信息的一个重要数值特征。 科技发展日新月异，但线性代数的经典概念和思维永远 不会过时，只是在新工科背景下又有新的理解和阐释。 掌握线性代数的概念和思维，就能以不变应万变解决新 工科背景下层出不穷的新问题

2-5矩阵的秩对于一个方阵，是否可逆是一种质的区分；而对于普通矩阵，矩阵的秩是一种可以量化的数字特征。一、矩阵秩的概念定义1mxn矩阵A的k阶子式共有c.Ck个(矩阵的k阶子式）在mxn矩阵A中,任取k行k列(1<k≤min(m,n)），在行列交叉点的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式2...........20例如矩阵A=取第1、2行和第2、3列，得一个2阶子式431 -3 -2 -113取第1、2行和第3、4列，得一个2阶子式A共有18个2阶子式24

2-5 矩阵的秩 对于一个方阵，是否可逆是一种质的区分；而对于普通矩阵，矩阵的秩是一种 可以量化的数字特征。 一、矩阵秩的概念 定义1 (矩阵的 k 阶子式) 在 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列 (1 k  min{m,n}) ，在行列交叉点的 k 2 个元素 按原来的相对位置组成的 k 阶行列式 ，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式。 mn 例如矩阵               1 3 2 1 1 3 4 2 2 0 2 1 A 取第1、2行和第2、3列，得一个2阶子式 3 4 0 2 取第1、2行和第3、4列，得一个2阶子式 4 2 2 1 A 共有 18 个2阶子式 k k m n A k C C m n   矩 阵 的 阶 子 式 共 有 个

定义2（矩阵的秩RankofMatrix）矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，记作R(A)20(213421例如矩阵A=1-2-3-1022阶子式不为零，且所有3阶子式全为零：43021220222101342=04323421=0=01=01-1-3-211-3-1.3-21-2-1一则 R (A) =2

定义2 （矩阵的秩 Rank of Matrix ） 矩阵 A 的非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记作 R (A) 例如矩阵               1 3 2 1 1 3 4 2 2 0 2 1 A 3 4 0 2 2阶子式 不为零，且所有3阶子式全为零： 0 1 3 2 1 3 4 2 0 2    0 1 3 1 1 3 2 2 0 1    0 1 2 1 1 4 2 2 2 1    0 3 2 1 3 4 2 0 2 1     则 R (A) =2

思考结论（1）如何定义零矩阵的秩？(1) R(O)=0（2）矩阵的秩是否唯一？（2）矩阵的秩是唯一的（3）一个m×n矩阵的秩的最大可能取值是？(3) R(A)≤min(m,n)（4）若R(A)=r，则矩阵A的所有r阶子式全不为零吗？（5）若矩阵A有一个r阶子式不为零，则R(A)=r? R(A)>r? R(A)≥r?（6）若矩阵A的所有r阶子式全为零，则R(A)=r? R(A)<r?若R(A)=r，则矩阵A必有一个r阶子式不为零，且所有高于r阶的子式全为零若R(A)=r，A的所有r阶子式不为零？思考:所有r-1阶子式不为零？

思考 （1）如何定义零矩阵的秩？ （2）矩阵的秩是否唯一？ （3）一个 mn 矩阵的秩的最大可能取值是？ 结论 （1） R(O)  0 （2） 矩阵的秩是唯一的 （3） R(A)  min{m,n} （6）若矩阵 A 的所有 r 阶子式全为零，则 R(A)  r ? R(A)  r ? （4）若 R(A)  r ， 则矩阵 A 的所有 r 阶子式全不为零吗？ （5）若矩阵 A 有一个 r 阶子式不为零，则 R(A)  r ? R(A)  r ? R(A)  r ? 若 R(A)  r ，则矩阵 A 必有一个 r 阶子式不为零，且所有高于 r 阶的子式全为零

矩阵A的秩矩阵中不为零的子式的最高阶数，记为R(A)说明：矩阵A的秩等于r存在不为零的阶子式同时所有的+1阶子式全部为零加油！

矩阵A的秩 矩阵中不为零的子式的最高阶数，记为R(A).    同时所有的  阶子式全部为零 存在不为零的阶子式 r 1 r 矩阵A的秩等于r  说明：

基本结论与性质1. R(A)=0 台 A=0;2. R(A)≥r台A有一个r阶子式不为零：3.R(A)≤r台A的所有r+1阶子式全为零

基本结论与性质 1. R(A)=0  A=O； 2. R(A)≥ r  A有一个r 阶子式不为零； 3. R(A)≤ r  A的所有r +1阶子式全为零

单选题1分设置若r（A)=n则矩阵A的所有k（k≤n）阶子式全不为0.对错提交

对 错 A B 提交 单选题 1分

单选题1分设置n阶方阵A有一个3阶子式不为零，则A的秩（）R(A) = 3R(A) ≤ 3R(A) ≥ 3R(A) < 3提交

𝑅 𝐴 = 3 𝑅 𝐴 ≤ 3 𝑅 𝐴 ≥ 3 𝑅 𝐴 < 3 A B C D 提交 单选题 1分

21-1-10132例1求矩阵A=的秩，4(13-1-11解：观察可见=4±0（A的秩至少是2)3121-1且故 R(A)=3031=12±031-1说明用定义求矩阵的秩，需要计算一些子式的值是否为零，计算量较大。矩阵的初等变换可能改变其子式的数值，但不会改变子式的值是否为零，因此考虑用初等变换方法讨论矩阵的秩

例1 求矩阵 的秩.               1 3 1 4 3 1 0 2 1 1 2 1 A 解： 观察可见 4 0 3 1 1 1    ( A 的秩至少是2) 且 12 0 1 3 1 3 1 0 1 1 2     故 R(A)  3 说明 用定义求矩阵的秩，需要计算一些子式的值是否为零，计算量较大。矩阵 的初等变换可能改变其子式的数值，但不会改变子式的值是否为零，因此考虑 用初等变换方法讨论矩阵的秩

二、矩阵秩的计算定理1初等变换不改变矩阵的秩。证明先证明：矩阵A经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)设R(A)=r，则 A的某个r阶子式 D,≠0当 A""→>B 或 Aki→>B 时,在 B 中总能找到与 D,相对应的子式 D由于D,=D,或 D,=-D,或 D,=kD,，因此 D,0，从而 R(B)≥r当A—n+}→>B时，分三种情况讨论：（1）D,中不含第j行；D, =D, 0 R(B)≥r（2）D,中含第j行及第i行；（3）D中含第行但不含第i行；

二、矩阵秩的计算 定理1 初等变换不改变矩阵的秩。 证明 先证明：矩阵 A 经过一次初等行变换变为 B ，则 R(A)  R(B) 设 R(A)  r ，则 A 的某个 r 阶子式 Dr  0 当 A i j B 或 时， r r   A B i k r  在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 Dr ˆ 由于 D ˆ r  Dr 或 D ˆ r  Dr 或 D ˆ r  kDr ， 因此 D ˆ r  0 ，从而 R(B)  r 当 A i j B 时，分三种情况讨论： k r r   （1） Dr 中不含第 j 行； （2） Dr 中含第 j 行及第 i 行； （3）Dr 中含第 j 行但不含第 i 行； 0 D ˆ r  Dr  R(B)  r