《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）3-4 线性方程组解的结构新

3-4线性方程组解的结构一、齐次线性方程组iax+a2x2+L +a,,=0即 AX=01a2xj+a22x+L+a2nx,=0IL L L1amX +am2X2+L +ammX,=0已有结论：1°AX=0 必有零解：2°AX=0只有零解R(A) =nA的列向量组线性无关3°AX =0 有非零解 R(A)<nA的列向量组线性相关

3-4 线性方程组解的结 一、齐次线性方程组 构 即 已有结论： 1° 必有零解： 2° 只有零解 A 的列向量组线性无关 3° 有非零解 A 的列向量组线性相关

证明：只需证明x，+x，满足齐次线性方程组即可Q Ax, = 0, Ax, = 0/A(x, +x,)=Ax, +Ax =0故x=x,+x,也是Ax=0的解加油！

证明：

Q A(kx)= kA(x)= k0 = 0.证明1kx也是齐次线性方程组的解向量加油！

证明

性质3 AX=0 的解向量的线性组合仍为AX=0的解设1，2…，，为AX=0的解向量，证则A(k,,+k,2+...+k,)= A(k ) + A(k, 2)+ ...+A(k,s)=kjA,+k,A2+...+kA= kj 0+k, 0+...+ k,0=0.所以，k,,+k,,+...+k,，仍为AX=0的解.加油！

性质3   AX = 0 的解向量的线性组合仍为AX = 0的解. 证 设￾ 1 , ￾ 2 , ., ￾ s 为AX = 0 的解向量， 则 A(k1￾ 1+ k2￾ 2+ .+ ks￾ s )  = A(k1￾ 1 ) + A(k2￾ 2 )+ .+  A(ks￾ s )  = k1 A￾ 1  + k2 A￾ 2  + .+ ksA￾ s = k1 0 + k2  0 + .+ ks0 = 0. 所以，k1￾ 1+ k2￾ 2+ .+ ks￾ s 仍为AX = 0的 解

定义齐次方程组AX=0的全体解的集合称为AX=0的解空间，解空间的任一组基称为AX=0 的一个基础解系。注AX=0的解的全体构成WW=[XR"|AX=0’为R"的子空间AX=0的基础解系：（也称为W的一组基）10若xx,L口x，线性无关；2°AX=0的任一解向量均可由xxLx，线性表出则称xx,Lx为AX=0的一个基础解系

定义 齐次方程组 的全体解的集合称为 的解空间，解空间的任一 组基称为 的一个基础解系。 注 W ={X￾ Rn |  AX = 0} 为Rn的子空间 AX = 0的基础解系：（也称为W 的一组基） 1 o    若                           线性无关; 2 o AX = 0的任一解向量均可由                          线性表出 则称                        为AX = 0 的一个基础解系. AX = 0的解的全体构成W

定理1 设R(A)=r< n,则AX=0有基础解系,且所含向量个数为n-r,即dimW=n-r,这里n为方程组未知数个数证：设齐次线性方程组系数矩阵A的秩为r.不妨假设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为0/sélbr+1/4bi,ie//sV/4/4eoVA1br-1VAbtB ==a/00/4-6ei/s///4/<二00VsV4:000加油！

定理1  设R(A) = r < n, 则AX = 0有基础解系，   且所含向量个数为n - r, 即dimW = n - r,                                              这里n为方程组未知数个数.      证： 设齐次线性方程组系数矩阵A的秩为r,不妨假 设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为

与B对应的线性方程组为ix=-bir+x++ - /4- b.,x.12/4/4(3)=- br++ - /4- b,X,x我们把x+1x,称为自由未知量加油！

与B对应的线性方程组为 我们把xr+1,.,xn称为自由未知量

令xr+1...x，分别取下列n-r组数000中ex1<eu001otXr+2e /uéu0福Xn1é加油！

令xr+1,.,xn分别取下列n-r组数

二代入(3)中依次可得uué- b,ué- b.é-b.éx,u21,neUe<eCTu4/41/4e<eu'ueie- b,.心b21iubb@x,ir,r+1urnu从而得到齐次线性方程组的n-r个解seeeeeceeeba.né- b,+2 ié- bir+rucd888888baad0A/Vbb2F+eeeeeevanu<0001X, =-X,e=0ee01/4/4ee001C加油！

代入(3)中依次可得 . 从而得到齐次线性方程组的n-r个解

下面证明x,,x,,/4,x.是解空间的一组基éx+uéu北0Cr+2u所取的n-r个n-r维向量首先由于é /u<euéXnaéououé1ueee<eu<euoUA0e<eui.Li-线性无关e/ ie/ u'e/eeeeUue001加油！