《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）1-2 高斯消元法和矩阵的初等变换

1-2高斯消元法与矩阵的初等变换一、高斯消元法二、矩阵的初等变换三、初等矩阵

1-2 高斯消元法与矩阵的初等变 换 一、高斯消元法 二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵

引例:今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，向鸡免各几何？设鸡有x1只，兔子有x2只350al1i x, +x, =35六2 4940i 2x, +4x, = 94

引例： 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡 兔各几何？

n元线性方程组i aux +ax, +L +anx, =0aux, +ax, +L +ainx, =bi-a2ix, +a22x, +L +a2nx, = 0a2 +a22,+L+a2,=b-LLLLLLLLLiLLLLLLLLLIamx, +am2x, +L +amx,=0iamx,+am2x,+L +ammx,=bmAx = 0Ax = bLcb, icouanuéx,ieaia12eue,e.icouChLa22ea21aznix=etue'2i0=eb=A=e MiéMiéMéLLLuLe. ie.uéieucbmac0aLexaam2amnaeaml

n 元线性方程组 Ax = b Ax = 0

一、高斯消元法i3x-x2+5x,=3例1i x - x, +2x, =1用消元法解线性方程组21 x - 2x2 - X, =2③i x - 2x2 - ,= 2-ix-2x- x,=2x-2x, -x,=2③-5②②-①10(3X, +3x = - 1X -X2+2x =1x, +3x, =-1@-301ii13x - X +5x; =35x, +8x, =-3- 7x, =210i+rx71orae x- 2x - x =2317方程组的解为8x, +3x, =- 1X71T22r1X=17ix7

一、高斯消元法 例1 用消元法解线性方程组 ① ② ③ ①←→③ ②-① ③-3① ③-5② ③ 方程组的解为

iax+ai2x,+L +ainxn=b线性方程组的初等变换ia2 +a22X2+L +a2nx,=b,IL L L1amX,+am2X2+L+amnX,=bm线性方程组的消元法，把方程组化为同解方程组，变换可归结为以下三种形式：（1）交换两个方程的位置：（2）用一个非零常数乘某个方程；（3）用一个非零常数乘某个方程然后加到另一个方程

线性方程组的消元法，把方程组化为同解方程组，变换可归结为以下三种形式： （1）交换两个方程的位置； （2）用一个非零常数乘某个方程； （3）用一个非零常数乘某个方程然后加到另一个方程。 线性方程组的初等变换

二、矩阵的初等变换1.定义，下面三种变换称为矩阵的初等行变换(1)对调两行（对调i,j两行,记作r《r）；(2)以数k10乘以某一行的所有元素；(第i行乘k,记作rk)(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第i行的k倍加到第i行上记作r+kr)

1.定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 二、矩阵的初等变换

2.同样可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把r换成“c")，包括如下的三种变换。(1)对调矩阵中的两列。(2)以非零常数k乘以矩阵某一列的全部元素。(3)把矩阵中某一列全部元素的k倍加到另外一列的对应元素上。3.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换r《 rj，kr，kr,+rj简记为：行变换列变换C,《 Cj，kc,，kc,+cj

3. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换． 2. 同样可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r” 换成“c”)，包括如下的三种变换。 简记为：行变换 列变换

引例今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，向鸡免各几何？设鸡有x1只，兔子有x2只350al1i x+x =35六2 494↑ 2x +4x, = 94

引例 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡 兔各几何？

1aelβ5o-2ri +r2i x +x, =35?p4&24i2x, +4x, = 941350231ali x, +x, = 35-2+@?So22402x, =24al11i3501-2 +x, = 35ix,?2BSo11 =12<0:230adl= 23-1'@+@ i x1<1112So11x, =12

-2 1 + 2 2 2 + 1

i3x, - x, +5x, =3ii上例1采用矩阵行初等变化来求解：X - X +2x =1kxi-2x,-X, =21520- 2-12 8.22 °-1302-1do--1BoBor-ael:80.0.-+1232-12131-11:-1- 1+-5r+rco1-r《rel3r+r3-0+36&0S13382-155800- 2-1- 72-012:O·eoc10 α10i8o-2000:X:0718o2-7271-1一C3r.rncoii1+114-0CO11131+ro10-2r,t7-C307-r3+r7-X2iO272中001902+1070.012i·7070X3ii7

上例1 采用矩阵行初等变化来求解：