《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 第4讲 无穷小与无穷大

高等数学（上册）第1章函数、极限与连续第4节无穷小量与无穷大量人民邮电出版社POSTS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第4节 无穷小量与无穷大量 第1章 函数、极限与连续

R人邮教育本讲内容w.ryjinoyu.co无穷小量02无穷大量03无穷小量的比较04等价无穷小代换

01 无穷小量 02 无穷大量 03 无穷小量的比较 04 等价无穷小代换 本 讲 内 容

OOAOR01无穷小人邮教育定义1.14如果limf(x)=0，则称函数f(x)为当xx时的无穷小量R例1f(α)=x-1为当x□1时的无穷小lim f(x)= lim(x - 1)=0XRX(R)lim f(x)= limsin x = 0f(x)=sinx为当x 0时的无穷小XROXR01为当x时的无穷f(x)lim f(x) = lim-0=xXRYXRYX小11 y为当n口口时的无穷小lim0数列1nRY2

01 无穷小 定义1.14 3 如果 ，则称函数 为当 时的无穷小量. 为当 x ᵯ 0 时的无穷小. 为当 x ᵯ 1 时的无穷小. 为当 x ᵯ ᵯ 时的无穷 小. 数列 为当 n ᵯ ᵯ 时的无穷小. 例 1

01无穷小COOORA人邮教育注(1)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关，还与自变量的变化趋势有关；例如，x－1当x1时是无穷小，当x口2时不是无穷小，(2)无穷小不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量特别地，常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小

01 无穷小 注 4 (1)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关，还与 自变量的变化趋势有关； (2)无穷小不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种 变化趋势下，函数的绝对值趋近于 0 的变量. 特别地，常数 0 可以看成任何一个变化过程中的无穷小. 例如， x – 1当 xᵯ 1 时是无穷小，当 xᵯ 2 时不是无穷小

O06001无穷小RA人邮教育limf(x)=A的充分必要条件是定理1.17YRX(x口口）其中α(x)是当xx。时的无穷小，即 lima(x)=0.(x口(x)例2证明定理1.17.lim f(x)Ap"e>0, $d>0, 当0<|x- x<d 时证明xRXa总有 Lf(x)- A<e.ILf(x)- A]- O<eU f(x)- A是xx时的无穷小，设α =f(x）-A,Uf(x)=A+，是xx时的无穷小

定理1.17 5 01 无穷小 例 2 证明定理 1. 17. ￾ 是 xᵯ x f (x) = A + ￾ , 0 时的无穷小. 是 xᵯ x0 时的无穷小，设 证明 当 时, 总有 的充分必要条件是 ( x ᵯ ᵯ ) 其中 是当 时的无穷小，即 ( x ᵯ ᵯ ) ( x ᵯ ᵯ )

O00001无穷小R人邮教育有限个无穷小的代数和是无穷小性质1.1注无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小12n中每一项均为无穷小，tLn2+n+1n2+n+2n2+n+n121n但lim(FLX2+n+l+n+2n+n+nNRn21110ae1limnc+L +n? +2pn?+np 0n??2+pen

注 6 无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小. 中每一项均为无穷小, 但 . 01 无穷小 性质1.1 有限个无穷小的代数和是无穷小

无穷小CO001R人邮教育有限个无穷小的代数和是无穷小性质1.1性质1.2有限个无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小性质1.3推论常数与无穷小的乘积是无穷小

性质1.1 性质1.2 性质1.3 推 论 7 有限个无穷小的代数和是无穷小. 有限个无穷小的乘积是无穷小. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小. 01 无穷小

CO001无穷小人邮教育RA例3求极限limxSin -X?0x由于解O1, x1 0,sin故sin一在x=0的任意去心邻域内是有界的而x2是x?0时x的无穷小，由性质1.3可知，x2sin二是x0时的无穷小，即x1limx sin = = 0.x?0x

8 求极限: 解 由于 例 3 01 无穷小 故 在 的任意去心邻域内是有界的. 而 是 时 的无穷小，由性质1. 3 可知， 是 时的无穷小，即

O0ARA人邮教育思考：sinx1.limXR?x2. lim x sinXR?x13.lim x sin -x0x

9 思考：

R人邮教育本讲内容w.yjinaoyu.cc01无穷小量02无穷大量03无穷小量的比较04等价无穷小代换

01 无穷小量 02 无穷大量 03 无穷小量的比较 04 等价无穷小代换 本 讲 内 容