《线性代数》课程教学资源（章节讲稿，C）1-4 分块矩阵

分块矩1-4阵对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵000ael012 0ael30..O例如0:a/1el :A12 9.0-23-BA.A一I-1-Co00Q$7300:一01230011Boo.29：/123.AA小710103:

1-4 分块矩 阵 对于行数和列数较高的矩阵 A, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是: 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例如

0.........0000a2-oB0020000-."aA,:0.-CCo001-11A,-C-C0030:co...1ce-Ao:CO04001-ele:小300.....00.....00..0a2100018..o.1201000-:O--A,8.90010CA,+C010-1co10-4.ceSo00010o0100030

一、分块矩阵的概念1.定义设A是一个矩阵，在A的行和列之间加上一些线，将其分成若干小块，每一小块称为A的子块以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵cana13u(14a15112i<ea2a22a.a24a.252.35A=eas(132133(34a.35<3(s3(142(4ass aea41.éA.A12Au则A可记作A=4.1A22

一、分块矩阵的概念 1.定义 设A是一个矩阵，在A的行和列之间加上一 些线，将其分成若干小块，每一小块称为A的子块. 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 则A可记作

2.特殊分法La,o(2211-cmL(nl2n六=c设矩阵A=(a)mMM:cM-Sa.tLasanoéA,ueiA=éi按行分块其中 A, =(a,aiz,L ,a.)é Mieui=1,2,L ,s.SA,u

2.特殊分法 设矩阵 按行分块 其中

La,oai2a-SanLanlzn-设矩阵=CA=(aMMF:SM:CLa2an00eaeuea2i按列分块A=(A,A,L,A,)，其中 A,=m!euj=1,2,L ,n.ganjtl

设矩阵 按列分块 ，其中

二、分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法LLBi2αBueAA.0CCLLLLeLcLB=一设A与B是同型矩阵，且分块方法相同，A=-XLAroSB.IBr&A.1LA, + BLA1+Bi,1c则LLLA+B=-C六LAs+B.SA., + B.1LL2数乘分块矩阵As0akA.kA,eA11CCcLLLLLkA=kcL-一XA.L&kA,SA.iLkA.O

二、分块矩阵的运算 1. 分块矩阵的加法 设 A 与 B 是同型矩阵，且分块方法相同， 则 2 数乘分块矩阵

3.分块矩阵的转置设A是一个r's型分块矩阵，则它的转置是一个s'r型分块矩阵。AIAtSLLaAnA,2OC:LcL=&LLLA!L-A=六ArtAnSA.L&A,1LO40- 10aelACAl1例如112coA84一0S020001a100%3OOCA01Ai0.:O则A4:AC2Ano41.1...200

3. 分块矩阵的转置 设 A 是一个 型分块矩阵，则它的转置是一个 型分块矩阵。 例如 则

4.分块矩阵的乘法设矩阵A=(a,）m,B=(b,）p，对A,B进行分块为r×s和r×s分块矩阵且A的列的分法和B的行的分法相同，则LLB,0LAl, CeB.eA,B +L A,BA,B, +L Al,Bs, oA.CciCLLLLAB=LLLLoL+=-C:A,B, +L A,BaABSA.1LLBst0SA,B +L ArB,lL可以证明：用分块矩阵的乘法求得的AB和不分块作乘法求得的AB是相同的

4. 分块矩阵的乘法 可以证明：用分块矩阵的乘法求得的AB和不分块作乘法求得的AB 是相同的

三、分块对角矩阵A,B, (i=1,2,L,s)同型设A，B是同型分块对角矩阵，且子块:0aeB,:0.aA,B0CB2A--CCA=B=+occe-00小cce小B.0A,0akA:0:0÷A, + B,CCkA,-c+ckA=(2)A+B=(1)-C+CCCe00cce三主kA,0A+B,0

三 、分块对角矩阵 设 A, B 是同型分块对角矩阵，且子块 同型

aA, B,:0.CA,B2一CAB(3)一C0cceAB.0:01aAC-1C-A-1则(4)若A, (i=1,2,L ,S)都可逆一0cce一A0AS4gBoac:3、A2C--C--CcNN-a:00

（4）若 都可逆，则