《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第1章 第5讲 函数的连续性

高等数学（上册）第1章函数、极限与连续第5节函数的连续性人民邮电出版社POSTS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第5节 函数的连续性 第1章 函数、极限与连续

R人邮教育本讲内容w.ryjinoyu.c函数连续的定义102函数的间断点03连续函数的性质04闭区间上连续函数的性质

01 函数连续的定义 02 函数的间断点 03 连续函数的性质 04 闭区间上连续函数的性质 本 讲 内 容

01OOOOR函数连续的定义人邮教育定义1.18设变量u从它的一个初值u，变到终值u2，终值与初值的差u-u,称为变量u的增量，记为Du即Du=uz-u.定义1.19设函数V=f(x)在点o的某邻域内有定义,如果当自变量x有增量Dx时，函数有相应的增量Dy若limDy=0则称函数y=f(x)在点xo处连续,x.为f(x）的xR连续点

3 连续点. 定义1.18 设变量 从它的一个初值 变到终值 ，终值 与初值的差 称为变量 的增量，记为 ， 即 . 定义1.19 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果 当自变量 有增量 时, 函数有相应的增量 ， 若 ,则称函数 在点 处连续, 为 的 01 函数连续的定义

COA0RA人邮教育lim Dy=0 U lim[f(x +Dx)- f(xo)=0Dr?0DrR0U令x=X+Dx,lim[f(x)- f(xo)) =0XRXoU lim f(x)= f(xo)XXo

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01函数连续的定义CO60R人邮教育定义1.20（1）设函数y=f(x）在点xo的某邻域内有定义，若lim f(x)= f(xo)XRX则称函数V=f(x）在点o处连续；(2）设函数y=f(x)在点xo的某邻域内有定义,如果对于任意正数。，总存在正数d，使当满足不等式[x- xo<d时,有f(x)- f(xo)<e成立，则称函数V=f(x）在点xo处连续

定义1.20 5 则称函数 在点 处连续； 任意正数 , 总存在正数 , 使当 满足不等式 时， 则称函数 在点 处连续. （1）设函数 在点 的某邻域内有定义，若 （2）设函数 在点 的某邻域内有定义，如果对于 成立， 有 01 函数连续的定义

01函数连续的定义ROAOIRA人邮教育从上述定义可以看出，函数=f（x）在点o处连续必须满足三个条件：01y=f(x）在点x处有定义；02y=f(x）在点xo处极限存在，即limf(x)=A（常数);RX03y=f(x）在点xo处极限值等于函数值，即A=f（x）

6 从上述定义可以看出，函数 在点 处连续必须 满足三个条件： 01 在点 处有定义； 02 在点 处极限存在，即 （常数)； 03 在点 处极限值等于函数值，即 . 01 函数连续的定义

01函数连续的定义COA0RA人邮教育例证明：函数y=sinx在任意点x处都是连续的设自变量在x处的增量为Dx，则函数的相应0证明Dx增量为Dy=sin(xo+Dx)- sin Xo=2 sincos(xo2Dx由于cos(xf1所以2DxDx oDxDxaesinincoscXo2222O0DxDx即 Dy= sin(xo + Dx)- sin xo|f 2220Dy?从而limDy=0当Dx?0时,由夹逼准则知。DxRO所以函数y=sinx在任意点xo处都是连续的

7 设自变量在 处的增量为 , 则函数的相应 由于 即 当 时, 由夹逼准则知, ，从而 所以函数 在任意点 处都是连续的. 证明 增量为 所以 例 1 证明：函数 在任意点 处都是连续的. 01 函数连续的定义

R人邮教育本讲内容w.nvlnDyu.c函数连续的定义lim f(x) = f(xo)lim, Dy = 0XRXoDx?002函数的间断点03连续函数的性质04闭区间上连续函数的性质

01 函数连续的定义 02 函数的间断点 03 连续函数的性质 04 闭区间上连续函数的性质 本 讲 内 容

01函数连续的定义COAORA人邮教育10sinX例试证函数f(x)=x2在x=0处连续1 0,x=0,0证明根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，得 lim(x)=limx2sin==0=f(0)XROXROx所以函数f（x）在x=0处连续

证明 9 试证函数 在 处连续. 根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小， 得 ， 所以函数 在 处连续. 例 2 01 函数连续的定义

CO人邮教育R问题：如何定义函数=f(x）在区间上连续？

10 问题： 如何定义函数 在区间上连续 ？