《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 第3讲 第二换元积分法

高等数学（上册）第4章不定积分第3讲第二换元积分法人民邮电出版社POSTS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第3讲 第二换元积分法 第4章 不定积分

第二换元积分法COAARA人邮教育第一类换元法解决的问题of [i (x)li x)dx = of (u)duu-j(x)难求易求若所求积分of(u)du 难求，ofi (x)li dx)dx 易求,则得第二类换元积分法

第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 第二换元积分法

第二换元积分法OOAOR人邮教育定理4.4设x=y（t）是单调的可导函数，且ydt)10又设f[v(t)}t)的一个原函数为F(t），则of(x)dx=F [v -1(x)]+C该公式称为第二换元公式一般地，求积分of(x)dx时，如果设x=y(），且x=y(0)满足定理4.4的条件，根据第二换元公式求积分的过程如下：x=y (t)Xtofv (t)/ dt)dt=F (t)+cof(x)dx=F[v -l(x)]+C

定理4.4 3 设 是单调的可导函数，且 ， 又设 的一个原函数为 ，则 ， 该公式称为第二换元公式. 一般地，求积分 时，如果设 ，且 满足定理4.4的条件，根据第二换元公式求积分的过程如下： 第二换元积分法

第二换元积分法CO人邮教育PG注1.换元积分法在进行换元后，都需要还原为原变量的函数2.第二换元积分法经常用于被积函数中出现根式，且无法用直接积分法和第一换元法计算的题目

注 4 1.换元积分法在进行换元后，都需要还原为原变量的函数. 2.第二换元积分法经常用于被积函数中出现根式， 用直接积分法和第一换元法计算的题目. 且无法 第二换元积分法

第二换元积分法COAN人邮教育PS例求

5 例 1 求 ． 第二换元积分法

第二换元积分法COA人邮教育PS例求X2o解

7 求 ． 解 例 2 第二换元积分法

第二换元积分法COAOR人邮教育X3例求0dx/x-30解令t=Vx-3,x=t2 +3(t>0),dx=2tdt，则(2 +32id/ =2dr2 +3)d1 =2(号 +31)+ CX.(x+6)(x- 3)2 +C

9 求 ． 令 ， ， ，则 . 解 例 3 第二换元积分法

第二换元积分法COAA人邮教育PSdx求练

10 练 求 第二换元积分法

O0A0第二换元积分法RA人邮教育求0Va2 - xdx(a>0)例令x=asint(-)解*+则dx=acostdt于是有22 41 + cos 21 dtoa?- x dx=acost xacost dt =a'ocos? I di =a'o2 sin2ta?(t(t+sintcost)+C2为了将上式结果还原为原来的变量，引入辅助直角三角形，Va?- x?x, t=arcsin =所以sint=因为x=asintcostaaaq2+x所以ova?-x dx=a2x2 +Carcsina122ax1Ja-x

a t x a 2 - x 2 11 解 求 . 则 ， 令 ， . 为了将上式结果还原为原来的变量，引入辅助直角三角形， 因为 ， 所以 例 4 于是有 所以 第二换元积分法

O0A0第二换元积分法RA人邮教育求dx (a>0).A类似例4的解法，令x=atantO解则=arctan，dx=asec idi，于是有a,asec?tdx-dt= osect dt= In sect+ tantI+C0Oasect+x21ta作辅助三角形，可得=atant,tani=sectcostaa'to2L+C1+Cdx = ln所以0a.aCra+r0xC(C=C - lna).=In (x+ Va2 +x2a

12 求 ． 类似例4的解法，令 ， 则 ， ，于是有 ， 作辅助三角形，可得 ， ， ， ． 所以 解 例 5 第二换元积分法 a t x -