《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 第2讲 函数求导法则

高等数学（上册）第1章导数与微分第2讲函数的求导法则人民邮电出版社POSTS&TELECOMPRESS

高等数学（上册） 第2讲 函数的求导法则 第1章 导数与微分

R人邮教育本讲内容w.ryjinoyu.co函数和、差、积、商的求导法则002反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数

01 函数和、差、积、商的求导法则 02 反函数求导法则 03 复合函数求导法则 04 高阶导数 本 讲 内 容

01OOOORA函数和、差、积、商的求导法则人邮教育定理2.3设函数u(x),v(x)在点x处可导，则函数u(x)土v(x)u(x)u(x) ×(x),(v(x)10)在点x处也可导，且v(x)(1 [u(x)±v(x)=udx)±vdx);(2 [u(x)v(x)=udx)v(x)+u(x)vdx) ;)特别地,[Cu(x)=Cudx）（C为常数），élueeu(x)uevdx)udx)x(x)- u(x)dx)(3特别地，3v()13v()1v(x) .v (x))

定理2.3 设函数 在点x处可导，则函数 ， 在点x处也可导，且 （1 ） ； （2 ） ； 特别地， （C为常数）， 3 （ 特别地， . 3 ） ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 3

01COAA函数和、差、积、商的求导法则RA人邮教育法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数注相加减和相乘的情形(u±v±w)e=uvewg(uvw)e=udw+vaiw+waiv

4 注 法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数 相加减和相乘的情形. . 01 函数和、差、积、商的求导法则 4

01O0A0函数和、差、积、商的求导法则RA人邮教育设函数u(x)，v(x）在点x处可导，利用定义证明：例[u(x)v(x)j= u(x)v(x) + u(x)vax) ;O解根据导数定义并运用极限的运算法则u(x + Dx)v(x + Dx) - u(x)v(x)[u(x)v(x)= lim =DxDxR 0[u(x +Dx)v(x + Dx) - u(x)v(x + Dx)|+[u(x)v(x + Dx) - u(x)v(x)]= limDrDxR0éu(x+ Dx) - u(x)(x+Dr)+u(x)x(x+D)- v(x)u= limuuDrROSDxDxu(x+ Dx)- u(x) xlim v(x+ Dx) + u(x) limv(x+ Dx) - v(x)= limDxDxDrR0DrR 0DR0由于vx)存在，故v(x)在点x处连续，从而,limv(x+Dx)=v(x)(R)gu(x)v(x)i=udx)v(x)+u(x)vdx)所以

例 1 解 设函数 在点x处可导，利用定义证明： ； 根据导数定义并运用极限的运算法则 5 . 01 函数和、差、积、商的求导法则 5 由于 存在，故 在点x处连续，从而 ， 所以

01OOA0i函数和、差、积、商的求导法则人邮教育RA元例设f(x)=4cosx-x3+3sinx-sin求fdx),faO).22.福o解根据定理2.3，fdx)=(4cosx - x3 +3sinx- sin=)e=(4cos x)e- (x )e+(3sin x)e- (sin=)1=-4sinx-3x+3cosx所以f±O)=(-4sinx-3x2+3cosx）。=3

例 2 解 设 , 求 , ． 根据定理 2.3， 所以 . 01 函数和、差、积、商的求导法则 6

01函数和、差、积、商的求导法则CO60RA人邮教育例）3设y=Vxlog2x+e'sin x,求ye.ye=(V/x log, x)e+ (e* sin x)e解O=(/x)log, x + Vx(log2 x)e+(e")esin x +e*(sin x)e1ax+yx+e"sinx+e"cosx09x ln 22Vx

设 , 求 ． ． 例 3 解 01 函数和、差、积、商的求导法则 7

01函数和、差、积、商的求导法则CO60R人邮教育例设y=tanx,求yCYcos x - sin x(cos x)aesinx osino解VCtancosx&cosx ocos?x+sin?x1secxcos?xcos"x即(tan x)= sec x

设 ，求 y' ． 即 ． 例 4 解 ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 8

01函数和、差、积、商的求导法则COAORA人邮教育例）5设y=cotx，求y.acosx o(cos x)sin x- cos x(sin x)o解ye= (cotx)e -&sinx osin?x1sin' x +cos' xcsc"xsin’xsin’ x= - csc2 x.即(cot x

例 5 解 ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 9 设 ，求 y' ． 即 ．

01函数和、差、积、商的求导法则COA0R人邮教育例设y=secx求yCe-解seccos"xecosx osinx=secxtanx,cos? x即 (secx) sec xtan x

设 , 求 y' ． 即 例 6 解 ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 10