《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章第1节 定积分的概念及性质

第5章定积分及其应用HIGH EDUCATION PRESS

第5章 定积分及其应用

本章内容01定积分的概念与性质02微积分基本公式03反常积分定积分的应用04HIGH EDUCATION PRESS

01 定积分的概念与性质 02 微积分基本公式 03 反常积分 04   定积分的应用 本 章 内 容

第五章第一节定积分的概念及性质实际问题定积分的定义定积分的几何意义四、定积分的性质HIGHEDUCATION PRESS

第一节 一、实际问题 二、 定积分的定义 四、 定积分的性质 定积分的概念及性质 第五章 三、 定积分的几何意义

实际问题、矩形面积口ahh梯形面积=(αb)b221.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线yf(x)yf(x) (f(x)O)A?及x轴，以及两直线xa.xb所围成，求其面积AahHIGH EDUCATION PRESS

一、实际问题 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形面积 梯形面积

解决步骤：1) 分割.在区间[a，b]中任意插入n-1个分点axoxix2xnxnb用直线x口x将曲边梯形分成n个小曲边梯形2)近似在第i个窄曲边梯形上任取口口[x口，x]V作以[xi口，x,l为底，f（口）为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应01axiXiXibx窄曲边梯形面积A，得口A, f()x,(x, x, xi, i1,2,,n)HIGH EDUCATION PRESS返向

解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3) 求和2AOA,f()xii4)取极限.口口maxx，.则曲边梯形面积10innAlimA品记nlimf()x;吕0OlaxibxXiXi国HIGH EDUCATION PRESS

3) 求和. 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度vv()C[T，T2，且vt）口O.求在这段时间内物体所经过的路程STi解决步骤：TT2(1) 分割:T,O t.<t,<t,< O<tnoi<t, T2, Dt, t, to1i(2)近似代替：[1t]内路程近似值D S,v(,)Dt(3)求和:所经路程近似为S口口v口）t,口(4)取极限：记口max(Dt，Dt,,口，Dt,)，物体所经过的路程为nSlimOv(),00HIGH EDUCATIONPRESS返回

2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 且 求在这段时间内物体所经过的路程 S. 解决步骤: 已知速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 分割:￾￾ T1￾ t 0<t 1<t 2<￾￾￾￾ <t n￾ 1<t n ￾ T2 ,￾ Dt i￾ t i￾ t i￾ 1 ;￾￾ (2)近似代替:￾￾[t i￾ 1 , t i ]内路程近似值D￾    Si ￾ v (￾ i ) Dt i 所经路程近似为   (3)求和:￾￾ (4)取极限:记￾￾ ￾ ￾ max{Dt 1 , Dt 2 ,￾￾￾ , Dt n },￾物体所经过的路程为

1.曲边梯形的面积nlimf(o)xTaxibxXiaXi2.变速直线运动的路程n福口limv()tS000T上述两个问题的共性·解决问题的方法步骤相同“分割，近似代替，求和，取极限·所求量极限结构式相同特殊乘积和式的极限HIGH EDUCATION PRESS返厨

上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似代替 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同:  特殊乘积和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.变速直线运动的路程 1. 曲边梯形的面积

二、定积分定义v定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界在区间[a,b]内插入分点:αx<x,<x2<<xoi<x, b;记 Dx,=x,-x,1 (i□ 1, 2,,max(Dx, Dx2, ,Dx,);在小区间[xx,]上任取一点x,(i1,2,口和)f()x, 己①如果当口口0时，上述和式的极限存在，且极限值与区间[a,b]的分法和x,的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为 f(x)dx即f(x)dxlim f()x, C此时称f(x)在[a, b]上可积口00HIGH EDUCATION PRESS

v定义 Ø 在小区间[xi￾ 1 , xi ]上任取一点xi (i￾ 1, 2,￾￾￾作和, n), ￾ ￾ max{Dx1 , Dx2 ,￾￾￾ ,Dxn 记 Dx };    i =xi -xi￾ 1 (i￾ 1, 2,￾￾￾ , n),￾￾ a ￾ x0<￾x1<￾x2< ￾￾￾ <￾xn￾ 1<￾x Ø 在区间[a, b]内插入分点:￾￾ n ￾ b;￾￾   设函数 f (x)在区间[a, b]上有界.   则称此极限为函数 f (x)在 区间[a, b]上的定积分, 即 二、定积分定义 Ø 如果当￾ ￾ 0时, 上述和式的极限存在, [a, b]的分法和xi的取法无关, 且极限值与区间 记为 此时称 f (x)在[a, b]上可积

[a,b]称为积分区间积分上限Ydxlimf(o)xCx口0积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和HIGHEDUCATION PRESS

积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 和 机动 目录 上页 下页 返回 结束