《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）D5_4反常积分

第五章反常积分第三节积分区间为有限区间定积分被积函数有界推广反常积分（广义积分）、无穷区间上的反常积分、无界函数的反常积分HIGH EDUCATION PRESS

二、无界函数的反常积分 第三节 定积分 积分区间为有限区间 被积函数有界 推广 一、无穷区间上的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章

一、无穷区间上的反常积分（第一类反常积分）I引例.曲线口和直线x口1及x轴所围成的开口曲中边梯形的面积可记作dx其含义可理解为bdx中口limAlimb6o0b口x日 lim工bo0HIGH EDUCATION PRESS返回

一、无穷区间上的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （第一类反常积分）

定义5.2设f(x)C[a，)，取ba,若limf(x)dxbo00存在，则称此极限为f(x)在无穷区间[a,+o)上的反常积分hf(x)dxf(x)dx lim记作600o这时称反常积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在f(x)dx发散就称反常积分a类似地，若f(x)口C(,b]，则定义Df(x)dx limf(x)dx-aa0HIGH EDUCATION PRESS返回

定义5.2 设 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 在无穷区间 上的反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若f(x)C(,□),则定义f(x)dx C limf(x)dxlimf(x)dxHaob （c为任意取定的常数）只要有一个极限不存在，就称f(x)dx 发散HIGH EDUCATION PRESS

则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

·反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则有f(x)dx lim [F(x)1§f(x)dx limbbolim F(b)F(a) lim F(x)F(a) 简记：bXOf(x)dx[F(x)] lim F(x) F(a) 锦厨f(x)dx [F(x) F(b) lim F(αx)XOf(x)dx[F(x)]lim F(x)lim F(x)XOxO口HIGH EDUCATION PRESS

•反常积分的计算 如果F(x)是f (x)的原函数￾ 则有 简记：

例.求由x轴和y轴及曲线y=e*所围成的延伸到无穷远处的图形的面积A例2.讨论dx的敛散性xlnxHIGH EDUCATIONPRESS

dx例3.计算反常积分0Xdx解：arctanx一80口00xdx例：xdx分析：ln(1 x2原积分发散！4注意：对广义积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质，否则会出现错误HIGH EDUCATION PRESS

例3. 计算反常积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误

dx当p>1时收敛；p≤1例4.证明第一类p积分po时发散，其中a>0证：当p=1 时有dxhlxUx当p≠1时有p110pdxx10Ftp目1opAp1pol10p因此,当p>1时,反常积分收敛，其值为p口l当p≤l时，反常积分发散HIGH EDUCATION PRESS

例4. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散，其中a>0 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

tept dt(pO)例5.计算反常积分-ptdt(p>0)teHIGHEDUCATION PRESS

例5. 计算反常积分

二、无界函数的反常积分（第二类反常积分、瑕积分）引例：曲线VO与x轴，y轴和直线x1所围成的X开口曲边梯形的面积可记作dxAD其含义可理解为dxAlimlim1a?oxaox01a lim_2(1 Va)□2aoHIGH EDUCATION PRESS3返回

二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （第二类反常积分、瑕积分）