《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章课件_第二章第四节

第二章第四节隐函数和参数方程求导相关变化率隐函数的导数一二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章

隐函数的导数一、若由方程 F(x,y)=0 可确定y是x的函数,则称此函数为隐函数由y= f(x)表示的函数,称为显函数例如,-3-1=0可确定显函数 =3/1-xy+2y-x-3=0可确定是x的函数但此隐函数不能显化HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

隐函数求导方法F(x,y)= 0两边对x求导dF(x,J)=0(含导数y的方程dxHIGHEDUCATION PRESS目录机动上页下页返回结束

隐函数求导方法 两边对 x 求导 (含导数 y  的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求由方程y5+2-x-3x7=0确定的隐函数dyy=y(x)在x=0处的导数dx x= 0解：方程两边对x求导?+2y-x-3xdxddy_1-21x6 =0得dxdx1+21x6&dx5y+2dy因x=0时y=0，故x=dxHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + +  = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1在点（2，3/3）处的切线方程例2.求椭圆16解：椭圆方程两边对x求导V=(.89 xx=2x=216 yV=故切线方程为即/3x+4y-8/3=0HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y  y  9 2 = 0  y  2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 求 y = xsin x的导数(x>0) 白解：两边取对数，化为隐式In y=sinx·ln x两边对 x求导sin x= cosx·lnxXsinx= xsinx(cos x·ln x +HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例3. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x   =  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：1)对幂指函数 y=u"可用对数求导法求导In y= vlnuyInuuy'=u"(v'lnu+注意：y'=u'lnu·v'+vu按指数函数求导公式按幂函数求导公式HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y  1 = v lnu u u  v + ( ln ) u u v y u v u v   =  + y u u v v  = ln   vu u v +   −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(x -1)(x -2)例4V(x -3)(x - 4)(In|ul)'= 两边取对数Inx-1+Inx-2-Inx-3-In x-4h对x 求导x一x-(x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例4 ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u  (ln ) =  2 1 ln y = 对 x 求导  2 1 =  y y   4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4  + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x  4 1 − − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由参数方程确定的函数的导数二、x = @(t)若参数方程可确定一个与x之间的函数y=y(t)关系, (t), (t) 可导,且[(t)} +[y'(t)]} ±0 ,则p(t)≠0时,有dydy dtdydxdxdt dxdt@'(t)dty'(t)±0时, 有dxdxotdxdtdtdydydttdt(此时看成x是y的函数HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t)  0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d  t t x y d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (t)  0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d  t t y x d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

且@(t)±0,若上述参数方程中β(t),(t)二阶可导则由它确定的函数=f(x)可求二阶导数x=p(t),可得利用新的参数方程dy子dxdx==dxdxdtdxy"()(t)-y'(t)@"(t)(tD(t)p'()-y'(t)p"(t)jx-xi1HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2  t (t)(t) −(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t         −   = 3 x yx xy   −  = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y     = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束