《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章课件_第二章第二节

第二章第二节函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数求导法则三、复合函数求导法则四、基本求导法则HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页返回结束下页

一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数求导法则 四、基本求导法则 三、复合函数求导法则 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章

一、和、差、积、商的求导法则定理1. 函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数u(x)及v(x)的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导，且(l) [u(x)±v(x)}' =u'(x)±v'(x)(2) [u(x)v(x)]'=u(x)v(x)+u(x)v(x)u(x)v(x)-u(x)v(x)淄］(3)(v(x) ± 0)(x)HIGH EDUCATION PRESS机动目录返回结束上页下页

一、和、差、积、商的求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (v ( x )  0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(l) (u±v)=u±v'证： 设f(x)=u(x)±v(x),则f(x+h)-f(x)f'(x) = limhh-→0u(x+h)±v(x+h)/-[u(x)±v(x)= limhh-0v(x+h)-v(x)u(x+h)-u(x)lim± lim二hhh>0h->0=u'(x)±v'(x)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

证: 设 , 则 (1) (u  v) = u   v  f (x) = u(x)  v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 +  + −  = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + −  → = u (x)  v (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) (uv)'=u'v+uv证: 设 f(x)=u(x)v(x)，则有f(x+h)-f(x)u(x +h)v(x +h)-u(x)v(x)f'(x)= limlimhhh-→0h-→0v(x+h)+ u(x) (x+h)-v(x)u(x+h)-u(x)= limhhh-→0l= u(x)v(x) +u(x)v'(x)故结论成立推论：l）（Cu）=Cu'（C为常数02) (uvw)'= u'vw +uv'w+uwInx3)(logax)InaxlnaHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

(2) (uv) = u  v + u v  证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → = u (x)v(x) + u(x)v (x) 故结论成立.    + − = → h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x + h)   −  + h v(x) u(x) v(x + h) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu  u  vw+ uv  w+ uvw  3) (loga x ) =        a x ln ln x ln a 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例. = Vx(x3 -4cos x-sinl),求y及ylx=l.解: y'=(x)(x3 -4cos x-sinl)+/x (x3 -4cos x-sinl)-4cosx-sin1)+/x(3x~+4sinx(1-4cos1-sin1) +(3+4sinl)sin1-2cos1CHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 解: + 4sin x (1 2 1 − sin1) ( 4cos sin1) , 3 y = x x − x − y  = ( x ) + x = ( − 4cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y  x=1 = − 4cos1 + (3+ 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 = + − ( 4cos sin1) 3 x − x − ( 4cos sin1) 3 x − x −  机动 目录 上页 下页 返回 结束

uv-uy(")(3)u(x)则有证： 设f(x)=v(x)u(x+h)u(x)f(x+h)- f(x)v(x+h)v(x)f'(x)= limlimhhh-→0h→0v(x+h) -v(x)u(x+h) -u(x)2 v(x) -u(x)hhlimv(x +h)v(x)h->0u(x)v(x)-u(x)v(x)(x-1推论：（C为常数HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

      + = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h  u(x)v(x) (3) ( ) 2 v u v u v v u  −  =  证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x − u x v  x = 推论: ( ) 2 v C v v C −  =  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

(tan x)' = sec2 x, (cscx)'=-cscxcot x .例.求证sinx(sinx)'cosx-sinx(cosx)证：(tan x)'cos2 xcoS xcos'x +sin'x= sec-xcos"x(sin x)-cos x(csc x)"2sinxsinsinxX=-cscxcotx类似可证：(cot x)=-csc" x, (secx)'= secxtanxHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

(csc x) =        sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例. 求证 证:         = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cos x 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x  = − x (sec x) = sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、反函数的求导法则定理2.设= f(x)为x=f-(y)的反函数-(y)在 的某邻域内单调可导且[f-l(y)}'± 09或d x[f-(y)]"dxdyHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, ( ) ( ) , 设 y = f x 为 x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1   − 且 f y d d = x y 或 y x d d 1 [ ( )] 1  − f y 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.求反三角函数及指数函数的导数解:1)设y=arcsin x,则x=siny, yEcos y>O,则(arcsin x)"(sin y)cos 11 -sin利用Tarccosx)arccos x =arcsin x类似可求得(arctanx)arccot x1+xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 ) , 2 , 2 (   y  − (sin y) cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 类似可求得 x arcsin x 2 arccos = −  利用  cos y  0 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)设y=α*(a>0,α≠1),则 x=logay,y(0,+o)=ylna=alna(loga y)ylna特别当α=e时,（er)=eHIGHEDUCATION PRESS

2) 设 y = a (a  0 , a  1) , x 则 x = log y , y (0 , + ) a (log ) 1  = y a 1 = y ln a 1 = y ln a x x 特别当 a = e 时, ( e ) = e