《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）D5_4几何应用

第五章第四节定积分的应用一、微元法定积分在几何上的应用1、平面图形的面积2、体积3、平面曲线的弧长HIGH EDUCATION PRESS

第四节 定积分的应用 一、微元法 第五章 二、定积分在几何上的应用 1、平面图形的面积 2、体积 3、平面曲线的弧长

一、微元法1、什么问题可以用定积分解决？函数f(x)区间[a,b]1)分割: [xi-1,xi] △xi = xi - xi-11)所求量U是与一个变量x的变化区AA, ~ f()x2）近似：间[a，b]有关的一个量；3)求和：Af()x2U对区间[a，b]具有可加性04)取极限：即若把区间「a，b1分成许多部分区间LV(a)d!Alimf() x则U相应的分成许多部分量之和：际V3）部分量△Ui的近似值可表示为f(o)x0axixianx;bxHIGH EDUCATION PRESS

1、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与一个变量x 的变化区 间[a , b] 有关的一个量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即若把区间 [a , b]分成许多部分区间， 则 U相应的分成许多部分量之和； 3) 部分量△Ui的近似值可表示为 1) 分割： 2) 近似： 3) 求和： 4) 取极限： 函数 f (x) 区间[a, b] A 一、微元法

2、如何应用定积分解决问题？第一步根据问题的具体情况，选取一个变量（例如x）为积分变量，并确定它的变化区间[a,b];0xx口dxa第二步写出所求量的元素dU口f(x）dxbx设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任意一小区间并记作[x,x+dx]，求出相应于这个小区间的部分量△U的近似值f(x)dx；）第三步写出所求量的积分表达式 UCf(x)dx这种分析方法成为元素法（或微元法）元素的几何形状常取为：条，带，段，环，扇，片等HIGH EDUCATION PRESS

第一步 根据问题的具体情况，选取一个变量（例如 x） 为积分变量， 这种分析方法成为元素法 (或微元法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片 等 并确定它的变化区间[a, b]; 第二步 写出所求量的元素 {设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任意一小区间 并记作[x, x+dx] ，求出相应于这个小区间的部分量△U 的近似值 ；} 2 、如何应用定积分解决问题 ? 第三步 写出所求量的积分表达式

二、定积分在几何上的应用yt yf(x)1、平面图形的面积直角坐标情形(1设曲线口f(x)（O）与直线xlbxoadxxa，xb（ab）及x轴所围曲边梯形面积为A，则dAf(x)dxA f(x)dxHIGH EDUCATION PRESS日医店

1、平面图形的面积 （1） 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 二、定积分在几何上的应用

例1.计算两条抛物线2x，yx2在第一象限所围所围图形的面积xy? x a,1)解：由得交点(0,0),(1,1)y口x2中x取横坐标x为积分变量，它的变化区间[0,1],xIdx相应于[0,1]上的任一小区间[x,x+dx]X的窄条面积近似于高为口x2［底为dx的窄矩形的面积，即得面积元素为 dAx?axAxaxxHIGH EDUCATION PRESS

相应于[0,1]上的任一小区间[x, x+dx] 的窄条面积近似于 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算两条抛物线 取横坐标x为积分变量，它的变化 区间[0,1]. 的窄矩形的面积，即得面积元素为

例2.计算抛物线y22x与直线x4所围图形的面积□2x得交点(2,口2),(8,4)解：由yx4为简便计算，选取作积分变量1y?□2x(8,4)ydy则有面积元素dA(y4,y)d中x4V(y4)dy口y4y318HIGH EDUCATION PRESS日量返同动

例2. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有面积元素 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求椭圆所围图形的面积26axxdvax0HIGH EDUCATION PRESS

例3. 求椭圆 所围图形的面积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

极坐标情形(2)设()C[,口],()0，求由曲线()及射线，围成的曲边扇形的面积在区间口，口上任取小区间「口，口d口]则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为000OBddA所求曲边扇形的面积为()dAHIGH EDUCATION PRESS

（2） 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.计算阿基米德螺线a（aO)对应从0变到2口所围图形面积20a解：A口文d基于网基米德线的风道没计HIGH EDUCATION PRESS

对应 ￾ 从 0 变 例4. 计算阿基米德螺线 解: 到 2 ￾ 所围图形面积

例5.计算心形线a(1cos）（aO）所围图形的面积(利用对称性）(1 cos)d解：A□2a0中02axHIGH EDUCATION PRESS

例5. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 目录 上页 下页 返回 结束