《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章课件_第二章第三节

第二章第三节高阶导数高阶导数的概念一、二、高阶导数的运算法则HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章

高阶导数的概念一、7引例：变速直线运动 s=s(t)ds速度即 v=s'Vdtdy加速度dt即α=(s')HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、高阶导数的概念 速度 即 v = s  加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义.若函数=f(x）的导数y=f(x)可导，则称0V即f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作y"或dx2-LE或y"=(y)"类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推n-1阶导数的导数称为n 阶导数，分别记作(nd"1或dxndHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y  = f (x) 可导, 或 即 y  = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设 y=ao +ajx+ax? +...+anx",求 y(n)例.解：' =aj +2azx+ 3agx? + .+ na,xn-1y" = 2 . la2 + 3. 2agx +.+n(n -1)anxn-2依次类推，可得y(n) = nlan")(n) = μ(μ- 1)(μ-2)..(μ-n+ 1)xμ-nrh证明：函数y=V2x－x2满足关系式y3y"+1=0HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

设 求 解: y  = a1 +2a2 x + −1 + n n  na x y  = 21a2 + a x3 3 2 2 ( 1) − + + − n n  n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) = + 2 3 3a x 例. 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例. 设 y=eax, 求 y(n)例. 设 y= ln(1 +x),求 y(n)例. 设 y= sin x,求y(n)(sinx)(n) = sin(x +n LHIGHEDUCATION PRESS目录机动上页下页返回结束

例. 设 y = e ax , 求 . (n) y 例. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 设 求 x = x + n (sin ) sin( ( ) ) 2  n 

二、高阶导数的运算法则设函数u=u(x)及v=v(x)都有 n 阶导数，则±v(n)1. (u±v)(n) =u(n) 2. (Cu)(n) = Cu(n)(C为常数)n(n-1)(n-)3. (uv)(n) =u(n)v+ nu(n-1)'+心2!n(n-l)...(n - k + 1)(n-k).1.(k)k!+...+ uv(n)莱布尼兹(Leibniz)公式HIGH EDUCATION PRESS推导目录上页下页返回结束

二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + +   莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及 推导 目录 上页 下页 返回 结束

例。 =x2e2x,求y(20)解： 设 u=e2x,v=x2,则u(k) =2ke2x (k =1,2,..., 20)v'=2x, v"=2,v(k) = 0 (k =3,..., 20)代入莱布尼兹公式，得20.19v(20)Ae2x. x2 + 20 .219e24.2x2!(x~+20x+95)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 求 解: 设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v  = 2x , v  = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2  x x e 19 2 + 20  2  2x 2 ! 2019 +  2 x e 18 2 2 ( k =1, 2 ,  , 20 ) (k = 3 ,  , 20) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如何求下列函数的n阶导数？-x解: =-1+1+x1+xn!y(n) = 2(-1)nx)n+1解： y=-x-xnn≥3)n+12(3) y=x2-3x+2HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

1 ( ) (1 ) ! 2( 1) + + = − n n n x n y , 3 (1 ) ! 1 ( )  − = + n x n y n n 如何求下列函数的 n 阶导数? x x y + − = 1 1 (1) x x y − = 1 (2) 3 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 1 2 − + = x x (3) y