《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_10-2可分离变量、齐次、线性微分方程

第二节一阶微分方程可分离变量的微分方程齐次方程二、三、一阶线性微分方程四、变量代换法解方程五、小结与思考题

一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 四、变量代换法解方程 第二节 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 五、小结与思考题

、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程g(y)dy = f(x)dxdy2x"y5 =→ y5dy = 2x'dx,例如dx解法设函数g(y)和f(x)是连续的分离变量法g(y)dy = J f(x)dx设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和 f(x)的原函数，G(y)= F(x)+C 为微分方程的解

一、可分离变量的微分方程 g( y)dy  f (x)dx 可分离变量的微分方程. 4 2 5 d 2 d y x y x 例如  4 5 2 y dy 2x dx,    解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的, g( y)dy  f (x)dx   设函数G( y)和F( x)是依次为g( y)和 f ( x)的原函 数, G( y)  F(x)  C 为微分方程的解. 分离变量法

=2xy的通解。例1求微分方程dxdy.解分离变量-=2xdx,ydy=[2xdx,两端积分LInly=x2 +CIy=e+C =e+?Cery=±C,er.y=Ce*为所求通解

例1 求微分方程 d 2 . d y xy x  的通解 解 分离变量 d 2 d , y x x y  两端积分 d 2 d , y x x y    2 1 ln | y | x C . 2  y  Ce x 为所求通解 2 2 2 1 1 2 | | . x C x C x y e e e C e      2 2 2 C . x x y  C e  e

dy例 2求解方程:kydx（指数增长与指数衰减方程）解dy = kdx两端积分，得yIny= kx +c（c为任意常数）kx+c=e°.ekx = Aekx24从而 =e'其中A=e°为任意正常数，所以y =(± A)ek = Bekx

例 2 求 解方程 d d y ky x  1 dy kdx y  ln y  kx  c （指数增长与指数衰减方程） kx  Be

y = (± A)ekx= Bekxdy= kx 的解由此可知，微分方程dx当 k>0时总是指数增长的，当 k<0 时，总是指数衰减的

kx  Be d d y kx x 

例3衰变问题：铀的衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知Mt=o = M,求衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律dM解衰变速度由题设条件dtdMdM-adt:-2M(2>0衰变系数)MdtdMt, In M=-2t+InC, 即M = Ce-^t-adt,M代入M|t=o =M。得 M,=Ce°= C,.. M = M,e-α衰变规律

例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含 量M 成正比,已知M t0  M0 ,求衰变过程中铀含 量M(t)随时间t变化的规律. 由题设条件 d d M t M   d d , M t M     代入M t0  M0 ln M  t  lnC, , t M Ce  即  0 得 M0  Ce  C, t M M e    0 衰变规律 解 , dM dt 衰变速度  M ( > 0衰变系数) dt dM

二、齐次方程=f()的微分方程称为齐次方程1.定义形如dxX作变量代换u=即y= xu,2.解法xdudyu+xdxdxdu代入原式,得f (u)u+xdxdu_f(u)-u即可分离变量的方程dxx

二、齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u  即 y  xu, 代入原式,得 d d , d d y u u x x x    d ( ), d u u x f u x   可分离变量的方程 1.定义 ( ) x y f dx dy 形如  . ( ) x f u u dx du  即 

du当 f(u)-u≠0时, 得= InC,x,f(u)-udu(β(u) =即 x=Ce(u)f(u)-up(当)将u=二代入,得通解x=Cex当uo，使 f(u）-u=O，则u=u,是新方程的解代回原方程，得齐次方程的解 J=u,x

当 f (u)  u  0时, , (u) x Ce  即  d ( ) ( ) u u f u u    （  ） 将 代入, x y u  , ( ) x y x Ce  得通解  , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0  u0  , 则 u  u0是新方程的解 代回原方程 , . 0 得齐次方程的解 y  u x ln , ( ) C1 x f u u du   得 

y例4求解微分方程(x-ycos=dy = 0.)dx+ xcosxx(x - ycos当)解y1y山xdxyyxxcos-xcosxx1dudu1+u,u+x即xdxcosudxcosudxsinu=-lnx +Ccosudu :xsin==-lnx+C.微分方程的通解为x

例4 求解微分方程 ( cos )d cos d 0. y y x y x x y x x    令 ， x y u  d 1 , d cos u u x u x u     d cos d , x u u x   sinu  ln x  C, sin ln x C. x y 微分方程的通解为    解 ( cos ) d 1 , d cos cos y x y y y x x y y x x x x       d 1 , d cos 即 u x x u  

例4求解微分方程(x - ycos兰)dx + xcos兰dy = 0xx解令u=,则 dy = udx + xdu,x(x -uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0dxcosudu=sinu=-lnx +C.x sin=-lnx+C.微分方程的通解为x

例4 求解微分方程 ( cos )d cos d 0. y y x y x x y x x    令 ， x y u  (x  uxcosu)dx  xcosu(udx  xdu)  0, d cos d , x u u x   sinu  ln x  C, sin ln x C. x y 微分方程的通解为    解 则 dy  udx  xdu